Sujet et corrigé de l'exercice 2 du bac ES de maths d'avril 2015 à Pondichéry
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Un apiculteur souhaite étendre son activité de production de miel à une nouvelle région.
En juillet 2014, il achète 300 colonies d’abeilles qu’il installe dans cette région.
Après renseignements pris auprès des services spécialisés, il s’attend à perdre 8 % des colonies durant l’hiver. Pour maintenir son activité et la développer, il a prévu d’installer 50 nouvelles colonies chaque printemps.
1. On considère l’algorithme suivant :
| Variables : | est un nombre entier naturel |
| est un nombre réel | |
| Traitement : | Affecter à la valeur 300 |
| Affecter à la valeur 0 | |
| Tant que faire | |
| prend la valeur | |
| prend la valeur | |
| Fin Tant que | |
| Sortie : | Afficher |
a. Recopier et compléter le tableau ci-dessous en ajoutant autant de colonnes que nécessaire. Les résultats seront arrondis à l’entier le plus proche.
| Test | vrai | ... | ||
| Valeur de | 300 | 326 | ... | |
| Valeur de | 0 | 1 | ... |
| Test | vrai | vrai | vrai | vrai | vrai | faux | |
| Valeur de | 300 | 326 | 350 | 372 | 392 | 411 | |
| Valeur de | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
b. Quelle valeur est affichée à la fin de l’exécution de cet algorithme ?
Interpréter cette valeur dans le contexte de ce problème.
La valeur affichée à la fin de l'algorithme est 5. C'est le rang de la première année où l'apiculteur aura plus de 400 colonies soit l'année 2014+5=2019.
2. On modélise l’évolution du nombre de colonies par une suite le terme donnant une estimation du nombre de colonies pendant l’année .
Ainsi est le nombre de colonies en 2014.
a. Exprimer pour tout entier le terme en fonction de .
L'année , il y a colonies, et l'année :
il y a 8 % de perte donc il reste colonies,
l'apiculteur installe 50 nouvelles colonies, donc il y a : colonies.
Du coup : .
b. On considère la suite définie pour tout entier par .
Montrer que pour tout nombre entier on a .
Pour tout entier naturel :
c. En déduire que pour tout entier naturel , on a .
D'après ce qui précède est la suite géométrique :
de premier terme ,
de raison .
Donc .
De l'égalité : , on tire :
.
d. Combien de colonies l’apiculteur peut-il espérer posséder en juillet 2024 ?
L'année 2024 est de rang 10 et avec la formule précédente on obtient :
3. L’apiculteur espère doubler son nombre initial de colonies. Il voudrait savoir combien d’années il lui faudra pour atteindre cet objectif.
a. Comment modifier l’algorithme pour répondre à sa question ?
Il suffit de remplacer la ligne :
Tant que faire
par la ligne :
Tant que faire
b. Donner une réponse à cette question de l’apiculteur.
En programmant l'algorithme dans la calculette on obtient : .
On peut aussi résoudre l'inéquation :
où .
Dans tous les cas l'apiculteur aura doublé son nombre initial de colonies à partir de l'année de rang 31, soit l'année 2045.
