Bac de maths

Sujet et corrigé de l'exercice 2 du bac ES de maths d'avril 2015 à Pondichéry

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Un apiculteur souhaite étendre son activité de production de miel à une nouvelle région.

En juillet 2014, il achète 300 colonies d’abeilles qu’il installe dans cette région.

Après renseignements pris auprès des services spécialisés, il s’attend à perdre 8 % des colonies durant l’hiver. Pour maintenir son activité et la développer, il a prévu d’installer 50 nouvelles colonies chaque printemps.

1. On considère l’algorithme suivant :

Variables : est un nombre entier naturel
est un nombre réel
Traitement :Affecter à la valeur 300
Affecter à la valeur 0
Tant que faire
     prend la valeur
     prend la valeur
Fin Tant que
Sortie :Afficher

a. Recopier et compléter le tableau ci-dessous en ajoutant autant de colonnes que nécessaire. Les résultats seront arrondis à l’entier le plus proche.

Test vrai     ... 
Valeur de 300326 ... 
Valeur de 01 ... 

Test vraivraivraivraivraifaux
Valeur de 300326350372392411
Valeur de 012345

b. Quelle valeur est affichée à la fin de l’exécution de cet algorithme ?

Interpréter cette valeur dans le contexte de ce problème.

La valeur affichée à la fin de l'algorithme est 5. C'est le rang de la première année où l'apiculteur aura plus de 400 colonies soit l'année 2014+5=2019.

2. On modélise l’évolution du nombre de colonies par une suite le terme donnant une estimation du nombre de colonies pendant l’année .

Ainsi est le nombre de colonies en 2014.

a. Exprimer pour tout entier le terme en fonction de .

L'année , il y a colonies, et l'année :

  • il y a 8 % de perte donc il reste colonies,

  • l'apiculteur installe 50 nouvelles colonies, donc il y a : colonies.

Du coup : .

b. On considère la suite définie pour tout entier par .

Montrer que pour tout nombre entier on a .

Pour tout entier naturel :

c. En déduire que pour tout entier naturel , on a .

D'après ce qui précède est la suite géométrique :

  • de premier terme ,

  • de raison .

Donc .

De l'égalité : , on tire :

.

d. Combien de colonies l’apiculteur peut-il espérer posséder en juillet 2024 ?

L'année 2024 est de rang 10 et avec la formule précédente on obtient :

3. L’apiculteur espère doubler son nombre initial de colonies. Il voudrait savoir combien d’années il lui faudra pour atteindre cet objectif.

a. Comment modifier l’algorithme pour répondre à sa question ?

Il suffit de remplacer la ligne :

Tant que faire

par la ligne :

Tant que faire

b. Donner une réponse à cette question de l’apiculteur.

En programmant l'algorithme dans la calculette on obtient : .

On peut aussi résoudre l'inéquation :

.

Dans tous les cas l'apiculteur aura doublé son nombre initial de colonies à partir de l'année de rang 31, soit l'année 2045.

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