Bac de maths

Sujet et corrigé de l'exercice 3 du bac ES de maths d'avril 2015 à Pondichéry

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On s'intéresse à la fonction définie sur par

PARTIE A

1. Calculer et en donner une valeur approchée à près.

2. Justifier que est la fonction dérivée de .

La fonction se présente sous la forme avec :

  • ;

  • ;

Donc

3. En déduire les variations de la fonction .

Pour tout , , donc le signe de est le même que celui de , ce qui donne le tableau de variations :

PARTIE B

Dans le repère orthogonal ci-dessous trois courbes et ont été représentées.

L'une de ces courbes représente la fonction , une autre représente sa dérivée et une troisième représente sa dérivée seconde.

Expliquer comment ces représentations graphiques permettent de déterminer la convexité de la fonction .

Indiquer un intervalle sur lequel la fonction est convexe.

Au vu des variations la courbe représentative de ne peut être que ou .

Si la courbe représentative de est , vu le signe des fonctions représentées par et , aucune ne peut être la dérivée, donc ce n'est pas qui est la courbe représentative de et c'est .

Il en découle en observant les signes que est la courbe représentative de et que est la courbe représentative de .

On remarque que la dérivée seconde est positive sur et que la fonction est convexe sur cet intervalle.

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