Sujet et corrigé de l'exercice 2 du bac S de maths de juin 2016 en Amérique du nord
Cacher les corrigés
Un particulier veut faire fabriquer un récupérateur d'eau.
Ce récupérateur d'eau est une cuve qui doit respecter le cahier des charges suivant :
elle doit être située à deux mètres de sa maison;
la profondeur maximale doit être de deux mètres;
elle doit mesurer cinq mètres de long;
elle doit épouser la pente naturelle du terrain.
Cette cuve est schématisée ci-dessous.
La partie incurvée est modélisée par la courbe 
de la fonction 
sur l'intervalle 
définie par:
La courbe est représentée ci-dessous dans un repère orthonormé d'unité 1 m et constitue une vue de profil de la cuve.
On considère les points A(2 ; 2), I(2 ; 0) et B(2e ; 2).
Partie A
L'objectif de cette partie est d'évaluer le volume de la cuve.
1. Justifier que les points B et I appartiennent à la courbe et que l'axe des abscisses
est tangent à la courbe au point I.
Point B
On calcule l'image de 
par :
Donc le point 
.
Point I
On calcule l'image de 2 par :
Donc 
.
Pour finir on détermine le coefficient directeur de la tangente à au point I. Pour cela on remarque que est dérivable sur 
avec :
où
; 
; 
et donc :
Donc la tangente à au point d'abscisse I est la droite qui passe par I et de coefficient directeur 0 : c'est l'axe des abscisses.
2. On note 
la tangente à la courbe au point B, et D le point d'intersection de la droite avec l'axe des abscisses.
a) Déterminer une équation de la droite et en déduire les coordonnées de D.
Une équation de la tangente à au point 
est :
Pour obtenir l'abscisse du point D intersection de avec l'axe des abscisses on résout :
Donc 
.
b) On appelle 
l'aire du domaine délimité par la courbe , les droites d'équations 
et 
.
peut être encadrée par l'aire du triangle ABI et celle du trapèze AIDB.
Quel encadrement du volume de la cuve peut-on en déduire ?
Avec les données de l'énoncé, ABI est rectangle en A et on a :
;
Donc l'aire de ce triangle vaut :
Pour le trapèze nous avons :
- ;
;
-
Son aire est :
Nous pouvons encadrer le volume V de la cuve par les volumes des deux prismes droits de hauteur 5 m et de bases respectives ABI et AIDB.
où
3.
a) Montrer que, sur l'intervalle [2 ; 2e], la fonction 
définie par
est une primitive de la fonction 
définie par 
.
Pour tout 
:
avec :
; 
; 
Donc :
Donc est bien une primitive de la fonction définie par 
.
b) En déduire une primitive 
de la fonction sur l'intervalle [2 ; 2e].
Pour tout :
Une primitive de sur l'intervalle considéré est :
c) Déterminer la valeur exacte de l'aire et en déduire une valeur approchée du
volume 
de la cuve au m
près.
La dérivée de sur 
est définie par 
.
Or pour tout 
on a :
soit 
.
Donc 
ce qui montre que est croissante sur l'intervalle considéré et on a le tableau de variation :
Par conséquent pour tout 
donc
Le volume de la cuve est 
.
Partie B
Pour tout réel 
compris entre 2 et 2e, on note 
le volume d'eau, exprimé en m, se trouvant
dans la cuve lorsque la hauteur d'eau dans la cuve est égale à 
.
On admet que, pour tout réel de l'intervalle [2 ; 2e],
1. Quel volume d'eau, au m près, y a-t-il dans la cuve lorsque la hauteur d'eau dans la
cuve est de un mètre ?
On commence par chercher 
tel que 
.
Pour cela on résout l'équation :
Il n'est pas possible de résoudre cette équation de « manière exacte », par contre on a la situation suivante :
La fonction est continue et strictement croissante sur avec :
or 
, donc d'après le théorème de la valeur intermédiaire il existe une unique 
tel que .
En utilisant la calculette on trouve par balayage 
.
Toujours avec la calculette on obtient 
.
2. On rappelle que est le volume total de la cuve, est la fonction définie en début
d'exercice et 
la fonction définie dans la partie B.
On considère l'algorithme ci-dessous.
Interpréter le résultat que cet algorithme permet d'afficher
L'algorithme proposé détermine une valeur approchée de la hauteur de l'eau dans la cuve quand celle-ci est à moitié pleine.
