Sujet et corrigé de l'exercice 4 du bac S de maths de juin 2015 en Asie
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Le plan est muni du repère orthonormé direct .
On donne le nombre complexe .
Le but de cet exercice est d'étudier quelques propriétés du nombre et de mettre en évidence un lien de ce nombre avec les triangles équilatéraux.
Partie A : propriétés du nombre
1.a. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation :
C'est une équation du second degré.
Le discriminant est .
Donc l'équation a deux solutions complexes conjuguées :
et
b. Vérifier que le nombre complexe est une solution de cette équation.
On remarque que , donc est bien une solution de l'équation considérée.
2. Déterminer le module et un argument du nombre complexe , puis donner sa forme exponentielle.
Comme est de module 1 ; pour déterminer un argument on cherche tel que :
On peut prendre et donc
3. Démontrer les égalités suivantes:
a) ;
b) .
a) .
b) Comme est solution de l'équation de la question 1.a. on a :
4. On note P, Q, R les images respectives des nombres complexes 1, et dans le plan.
Quelle est la nature du triangle PQR ? Justifier la réponse.
Du coup ce qui montre que le triangle PQR est équilatéral.
Partie B
Soit , , trois nombres complexes vérifiant l'égalité .
On note A, B, C les images respectives des nombres , , dans le plan.
1. En utilisant la question A-3. b), démontrer l'égalité :
On sait que :
En remplaçant par il vient :
2. En déduire que
3. Démontrer l'égalité : .
On part de nouveau de l'égalité :
De (question A.3.b.) on tire et en remplaçant il vient :
4. En déduire que le triangle ABC est équilatéral.
On a (question 2) et on vient de voir que cela entraîne que , c'est à dire que ABC est équilatéral.
