Bac de maths

Sujet et corrigé de l'exercice 3 du bac S de maths de juin 2015 dans les centres étrangers

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Soit un nombre réel fixé non nul.

Le but de cet exercice est d'étudier la suite définie par :

, et pour tout de , .

On remarquera que cette égalité peut aussi s'écrire :

1. Soit la fonction définie pour tout réel par : .

a. Calculer et prouver que, pour tout réel : .

La fonction est dérivable sur et pour tout réel :

En partant de l'expression donnée dans l'énoncé, il vient :

b. Déterminer les variations de la fonction et donner la valeur de son minimum.

Pour tout réel : et comme , le signe de est le même que celui de , on résout alors :

De même on a :

On peut alors dresser le tableau de variations :

Du coup admet un minimum en qui vaut .

c. En remarquant que , étudier le sens de variation de la suite .

Pour tout entier naturel :

Or, pour tout , (minimum vu à la question précédente) et en particulier .

Ainsi, pour tout entier naturel , ce qui montre que est croissante.

2. Dans cette question, on suppose que .

a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel , .

Initialisation au rang 0

Comme et qu'on suppose que , on a , ce qui montre que la propriété est vraie au rang 0.

Hérédité

Supposons que la propriété est vraie à un rang : .

On veut montrer, qu'alors : .

On sait que :

Comme , le signe de est le même que celui de .

Il s'agit alors d'étudier le signe de cette dernière expression sous l'hypothèse que (hypothèse de récurrence).

Du coup, et la propriété est héréditaire.

On a ainsi notre propriété qui est vraie au rang 0 et qui est héréditaire, donc elle est vraie pour tout entier naturel .

b. Déduire des questions précédentes que la suite est convergente.

La suite :

  • est croissante (question 1.c.)

  • est majorée par 0 (question 2.b.)

donc d'après le théorème de convergence monotone on peut dire que la suite est convergente.

c. Dans le cas où vaut 0, donner la limite de la suite .

Si ; et comme la suite est croissante et majorée par 0, elle ne peut être que constante et égale à 0.

Donc .

3. Dans cette question, on suppose que .

La suite étant croissante, la question 1. permet d'affirmer que, pour tout entier naturel , .

a. Démontrer que, pour tout entier naturel , on a : .

On sait que pour tout entier naturel : .

De plus est croissante sur (étude de la fonction à la question 1).

Du coup pour tout entier naturel : .

Et comme on a bien : .

b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel , on a :

Initialisation au rang 0

et .

Donc (il y a égalité).

Ainsi la propriété est vrai au rang 0.

Hérédité

On suppose qu'à un rang on a : .

On montre, qu'alors : .

Pour cela exploitons le résultat de la question a. :

Ensuite nous faisons intervenir l'hypothèse de récurrence :

Donc la propriété est héréditaire.

Ainsi notre propriété est vraie au rang 0 ; elle est héréditaire, donc elle est vraie pour tout entier naturel .

c. Déterminer la limite de la suite .

Nous avons et d'après l'étude de la fonction faite à la question 1, nous avons également .

Du coup : et en ajoutant :

Comme , par comparaison on a : .

4. Dans cette question, on prend .

L'algorithme suivant a pour but de déterminer le plus petit entier tel que où M désigne un réel positif. Cet algorithme est incomplet.

Variables : est un entier, et M sont deux réels
Initialisation : prend la valeur 0,02
prend la valeur 0
Saisir la valeur de M
Traitement :Tant que ......
      ......
      ......
Fin tant que
Sortie :Afficher

a. Sur la copie, recopier la partie « Traitement » en la complétant.

Variables : est un entier, et M sont deux réels
Initialisation : prend la valeur 0,02
prend la valeur 0
Saisir la valeur de M
Traitement :Tant que
       prend la valeur
       prend la valeur
Fin tant que
Sortie :Afficher

b. A l'aide de la calculatrice, déterminer la valeur que cet algorithme affichera si .

Avec la calculette on trouve que l'algorithme affiche 36.

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