Sujet et corrigé de l'exercice 2 du bac S de maths de mai 2015 au Liban
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On définit la suite de la façon suivante :
pour tout entier naturel :
1. Calculer
2.a. Démontrer que, pour tout entier naturel :
Pour tout entier naturel :
b. En déduire la valeur exacte de .
En utilisant l'expression de la question précédente avec nous avons :
Du coup :
3.a. Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous afin qu'il affiche en sortie le terme de rang de la suite où est un entier naturel saisi en entrée par l'utilisateur.
| Variables : | et sont des entiers naturels |
| est un réel | |
| Entrée : | Saisir |
| Initialisation : | Affecter à la valeur ... |
| Traitement : | Pour variant de 1 à ... |
| Affecter à la valeur ... | |
| Fin de Pour | |
| Sortie : | Afficher |
| Variables : | et sont des entiers naturels |
| est un réel | |
| Entrée : | Saisir |
| Initialisation : | Affecter à la valeur |
| Traitement : | Pour variant de 1 à |
| Affecter à la valeur | |
| Fin de Pour | |
| Sortie : | Afficher |
b. A l'aide de cet algorithme, on a obtenu le tableau de valeurs suivant :
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 10 | 50 | 100 | |
| 0,6931 | 0,3069 | 0,1931 | 0,1402 | 0,1098 | 0,0902 | 0,0475 | 0,0099 | 0,0050 |
Quelles conjectures concernant le comportement de la suite peut-on émettre ?
On peut supposer que la suite est décroissante.
4.a. Démontrer que la suite est décroissante.
Pour tout entier naturel :
Pour tout ; ; et donc .
Du coup , c'est à dire que est décroissante.
b. Démontrer que la suite est convergente.
Pour tout entier naturel et tout : , donc , c'est à dire que .
Ainsi est une suite décroissante et minorée par 0, donc d'après le théorème de la convergence monotone, converge.
5. On appelle la limite de la suite . Démontrer que .
« En passant à la limite » dans l'égalité :
on obtient :
, soit et .
