Bac de maths

Sujet et corrigé de l'exercice 5 du bac S de maths de mai 2016 au Liban

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On considère la suite de nombres complexes définie pour tout entier naturel par :

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on note le point d'affixe .

On considère le nombre complexe et A le point du plan d'affixe .

1. Soit la suite définie pour tout entier naturel par .

a) Montrer que, pour tout entier naturel .

Pour tout entier naturel :

b) Démontrer que, pour tout entier naturel :

Soit  : «  »

Montrons par récurrence que est vraie pour tout entier naturel .

Initialisation au rang 0

D'un part :

D'autre part :

Donc et est vraie.

Hérédité

Supposons qu'à un rang , soit vraie : .

Montrons qu'alors est vraie.

Donc est vraie.

Ainsi est vraie pour et est héréditaire donc est vraie pour tout entier naturel .

2. Démontrer que, pour tout entier naturel , les points A, et sont alignés.

Pour prouver l'alignement des points considérés on compare pour tout entier naturel :

avec :

Du coup :

et pour tout entier naturel :

cela montre que et sont colinéaires et donc que les points A, et sont alignés.

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