Sujet et corrigé de l'exercice 4 du bac S de maths de juin 2015 en métropole
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Une municipalité a décidé d'installer un module de skateboard dans un parc de la commune.
Le dessin ci-dessous en fournit une perspective cavalière. Les quadrilatères OAD'D, DD'C'C, et OAB'B sont des rectangles.
Le plan de face (OBD) est muni d'un repère orthonormé (O, I, J).
L'unité est le mètre.
La largeur du module est de 10 mètres, autrement dit, DD' = 10, sa longueur OD est de 20 mètres.
Le but du problème est de déterminer l'aire des différentes surfaces à peindre.
Le profil du module de skateboard a été modélisé à partir d'une photo par la fonction 
définie sur l'intervalle [0 ; 20] par
On note 
la fonction dérivée de la fonction et 
la courbe représentative de la fonction dans le repère (O, I, J).
Partie 1
1. Montrer que pour tout réel 
appartenant à l'intervalle [0 ; 20], on a 
.
; 
; 
2. En déduire les variations de sur l'intervalle [0 ; 20] et dresser son tableau de variation.
3. Calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 
.
La valeur absolue de ce coefficient est appelée l'inclinaison du module de skateboard au point B.
Il suffit de calculer 
.
L'inclinaison vaut 2.
4. On admet que la fonction 
définie sur l'intervalle [0 ; 20] par
a pour dérivée la fonction 
définie sur l'intervalle [0 ; 20] par
Déterminer une primitive de la fonction sur l'intervalle [0 ; 20].
Partie 2
Les trois questions de cette partie sont indépendantes
1. Les propositions suivantes sont-elles exactes ?
Justifier les réponses.
P
: La différence de hauteur entre le point le plus haut et le point le plus bas de la piste est au moins égale à 8 mètres.
P
: L'inclinaison de la piste est presque deux fois plus grande en B qu'en C.
P1
En exploitant l'étude précédente :
Ainsi 
: P1 est vraie.
P2
Inclinaison en C : 
.
Comme en B, l'inclinaison vaut 2, P2 est également vraie.
2. On souhaite recouvrir les quatre faces latérales de ce module d'une couche de peinture rouge. La peinture utilisée permet de couvrir une surface de 5 m
par litre.
Déterminer, à 1 litre près, le nombre minimum de litres de peinture nécessaires.
Aire du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe et les droites d'équations 
et 
:
On a deux fois cette surface à peindre et on ajoute les aires des deux rectangles « des bouts » ce qui donne au total :
Il faut 1 litre pour 5 m, donc il faut environ 
litres, soit au minimum 77 litres.
3. On souhaite peindre en noir la piste roulante, autrement dit la surface supérieure du module.
Afin de déterminer une valeur approchée de l'aire de la partie à peindre, on considère
dans le repère (O, I, J) du plan de face, les points 
pour 
variant de 0 à 20.
Ainsi, 
.
On décide d'approcher l'arc de la courbe
allant de 
à 
par le segment 
.
Ainsi l'aire de la surface à peindre sera approchée par la somme des aires des
rectangles du type 
.
a) Montrer que pour tout entier variant de 0 à 19, 
.
et
.
b) Compléter l'algorithme suivant pour qu'il affiche une estimation de l'aire de la partie roulante.
Chaque rectangle a pour aire : 
, du coup on complète l'algorithme :
