Sujet et corrigé de l'exercice 1 du bac S de maths de juin 2016 en métropole
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Partie A
Une usine fabrique un composant électronique. Deux chaînes de fabrication sont utilisées.
La chaîne A produit 40 % des composants et la chaîne B produit le reste.
Une partie des composants fabriqués présentent un défaut qui les empêche de fonctionner à la vitesse prévue par le constructeur. En sortie de chaîne A, 20 % des composants présentent ce défaut alors qu'en sortie de chaîne B, ils ne sont que 5 %.
On choisit au hasard un composant fabriqué dans cette usine.
On note :
A l'événement « le composant provient de la chaîne A »
B l'événement « le composant provient de la chaîne B »
S l'événement « le composant est sans défaut »
1. Montrer que la probabilité de l'événement S est 
.
On fait un arbre pour voir plus clairement la situation :
Les événements A et B forment une partition de l'univers et d'après la formule des probabilités totales :
2. Sachant que le composant ne présente pas de défaut, déterminer la probabilité qu'il provienne de la chaîne A. On donnera le résultat à 
près.
On calcule :
Partie B
Des améliorations apportées à la chaîne A ont eu pour effet d'augmenter la proportion 
de composants sans défaut.
Afin d'estimer cette proportion, on prélève au hasard un échantillon de 400 composants parmi ceux fabriqués par la chaîne A.
Dans cet échantillon, la fréquence observée de composants sans défaut est de 0,92.
1. Déterminer un intervalle de confiance de la proportion au niveau de confiance de 95 %.
Un intervalle de confiance de la proportion au niveau de confiance de 95 % est donné par :
2. Quelle devrait être la taille minimum de l'échantillon pour qu'un tel intervalle de confiance ait une amplitude maximum de 0,02 ?
Si 
est la taille de l'échantillon, l'amplitude d'un intervalle de confiance est 
.
On cherche donc entier naturel tel que :
Donc la taille minimum de l'échantillon devrait être de 10 000.
Partie C
La durée de vie, en années, d'un composant électronique fabriqué dans cette usine est une variable aléatoire 
qui suit la loi exponentielle de paramètre 
(où est un nombre réel strictement positif).
On note 
la fonction densité associée à la variable aléatoire . On rappelle que :
pour tout nombre réel
.
pour tout nombre réel
.
1. La courbe représentative 
de la fonction est donnée ci-dessous.
a) Interpréter graphiquement 
où 
.
est l'aire du domaine délimité par :
l'axe des abscisses ;
la courbe
;
les droites d'équations
(axe des ordonnées) et 
.
b) Montrer que pour tout nombre réel 
.
Pour tout réel 
: 
.
Une primitive sur 
de est définie par 
, donc :
c) En déduire que 
.
.
car 
;
; donc
Par somme,
2. On suppose que 
. Déterminer à 
près.
D'après la question 1 :
, donc :
où 
.
3. Dans cette question on prend 
et on arrondit les résultats des probabilités au centième.
a) On choisit au hasard un composant fabriqué dans cette usine.
Déterminer la probabilité que ce composant fonctionne au moins 5 ans.
b) On choisit au hasard un composant parmi ceux qui fonctionnent encore au bout de 2 ans.
Déterminer la probabilité que ce composant ait une durée de vie supérieure à 7 ans.
Commet suit la loi exponentielle on peut utiliser la propriété de durée de vie sans vieillissement.
c) Donner l'espérance mathématique 
de la variable aléatoire à l'unité près.
Interpréter ce résultat.
En moyenne la durée de vie d'un composant électronique est de 10 ans.
