Bac de maths

Sujet et corrigé de l'exercice 2 du bac S de maths de juin 2016 en métropole

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Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé on donne les points :

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant votre réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.

Affirmation 1 : Les trois points A, B, et C sont alignés.

On considère les vecteurs et :

  • soit

  • soit

On remarque que ces vecteurs ne sont pas colinéaires donc les points A, B et C ne sont pas alignés.

L'affirmation est FAUSSE.

Affirmation 2 : Le vecteur est un vecteur normal au plan (ABC).

On calcule :

Ainsi est orthogonal aux deux vecteurs et non colinéaires du plan (ABC).

Cela montre que est normal au plan (ABC).

L'affirmation est VRAIE.

Affirmation 3 : La droite (EF) et le plan (ABC) sont sécants et leur point d'intersection est le milieu du segment [BC].

On commence par déterminer un vecteur directeur de la droite (EF) :

soit

Une représentation paramétrique de la droite (EF) est :

Une équation cartésienne du plan (ABC) s'écrit sous la forme :

Comme le point A appartient au plan :

Donc (ABC) : 

Pour déterminer les coordonnées éventuelles du point d'intersection de la droite et du plan on résout maintenant le système :

Donc la droite et le plan sont sécants et les coordonnées du point d'intersection sont .

Il reste à comparer ces coordonnées à celles du milieu de [BC] :

Comme cela coïncide, l'affirmation est VRAIE.

Affirmation 4 : Les droites (AB) et (CD) sont sécantes.

Un vecteur directeur de (AB) est

Un représentation paramétrique de (AB) est :

Un vecteur directeur de (CD) est .

Une représentation paramétrique de (CD) est :

Pour savoir si les droites (AB) et (CD) sont sécantes on cherche leur point d'intersection éventuel en résolvant le système :

Donc le système n'a pas de solution et cela montre que (AB) et (CD) ne sont pas sécantes.

L'affirmation est FAUSSE.

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