Sujet et corrigé de l'exercice 4 du bac S de maths de juin 2016 en métropole

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Lors d'un match de rugby, un joueur doit transformer un essai qui a été marqué au point E (voir figure ci-dessous) situé à l'extérieur du segment [AB].

La transformation consiste à taper le ballon par un coup de pied depuis un point T que le joueur a le droit de choisir n'importe où sur le segment [EM] perpendiculaire à la droite (AB) sauf en E. La transformation est réussie si le ballon passe entre les poteaux repérés par les points A et B sur la figure ci-dessous.

Pour maximiser ses chances de réussite, le joueur tente de déterminer la position du point T qui rend l'angle le plus grand possible.

Le but de cet exercice est donc de rechercher s'il existe une position du point T sur le segment [EM] pour laquelle l'angle est maximum et, si c'est le cas, de déterminer une valeur approchée de cet angle.

Dans toute la suite, on note la longueur ET, qu'on cherche à déterminer.

Les dimensions du terrain sont les suivantes :

On note la mesure en radian de l'angle , la mesure en radian de l'angle et la mesure en radian de l'angle .

1. En utilisant les triangles rectangles ETA et ETB ainsi que les longueurs fournies, exprimer et en fonction de .

La fonction tangente est définie sur l'intervalle par .

Dans le triangle ETA rectangle en E, en utilisant les relations trigonométriques élémentaires nous avons :

De même en travaillant dans ETB nous avons :

2. Montrer que la fonction tan est strictement croissante sur l'intervalle .

La fonction est dérivable sur et nous avons :

avec :

Donc :

Il s'ensuit que pour tout ; et donc que la fonction est strictement croissante sur l'intervalle considéré.

3. L'angle admet une mesure appartenant à l'intervalle , résultat admis ici, que l'on peut observer sur la figure.

On admet que, pour tous réels et de l'intervalle :

Montrer que .

Vu la disposition des points sur la figure nous avons la relation : . Il s'ensuit que :

4. L'angle est maximum lorsque sa mesure est maximale. Montrer que cela correspond à un minimum sur l'intervalle de la fonction définie par : .

Montrer qu'il existe une unique valeur de pour laquelle l'angle est maximum et déterminer cette valeur de au mètre près ainsi qu'une mesure de l'angle à radian près.

La fonction tangente étant croissante sur l'intervalle d'étude, est maximum lorsque est maximum soit lorsque est maximum sur .

Par inverse est maximum lorsque est minimum et on peut écrire :

On remarque alors que les fonctions et ont leur minimum atteints pour la même valeur de , donc finalement la mesure de est maximale pour un minimum sur de la fonction définie par .