Bac de maths

Sujet et corrigé de l'exercice 4 du bac S de maths de juin 2015 en Polynésie

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Le directeur d'un zoo souhaite faire construire un toboggan pour les pandas. Il réalise le schéma suivant de ce toboggan en perspective cavalière.

Partie A : Modélisation

Le profil de ce toboggan est modélisé par la courbe représentant la fonction définie sur l'intervalle par :

et sont deux entiers naturels.

La courbe est tracée ci-dessous dans un repère orthonormé dont l'unité est le mètre.

1. On souhaite que la tangente à la courbe en son point d'abscisse 1 soit horizontale.

Déterminer la valeur de l'entier .

La fonction est dérivable sur et pour tout :

avec :

  • ;

  • ;

Nous traduisons la contrainte donnée par soit :

Donc

2. On souhaite que le haut du toboggan soit situé entre 3,5 et 4 mètres de haut.

Déterminer la valeur de l'entier .

Cette fois la contrainte s'exprime par :

avec et .

L'unique entier tel que est .

Donc finalement :

Partie B : Un aménagement pour les visiteurs

On admet dans la suite que la fonction introduite dans la partie A est définie pour tout réel par :

Le mur de soutènement du toboggan sera peint par un artiste sur une seule face, hachurée sur le schéma en début d'exercice. Sur le devis qu'il propose, celui-ci demande un forfait de 300 euros augmenté de 50 euros par mètre carré peint.

1. Soit la fonction définie sur par :

Déterminer la fonction dérivéé de la fonction .

La fonction est dérivable sur et on a :

, avec :

  • ;

  • ;

2. Quel est le montant du devis de l'artiste ?

A la question précédente nous avons remarqué que , donc est une primitive de .

En outre, pour tout , .

Donc l'aire du domaine délimité par la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équations et s'exprime par :

Le montant du devis de l'artiste sera par conséquent de :

€.

Partie C : Une contrainte à vérifier

Des raisons de sécurité imposent de limiter la pente maximale du toboggan.

On considère un point de la courbe , d'abscisse différente de 1.

On appelle l'angle aigu formé par la tangente en à et l'axe des abscisses.

La figure suivante illustre la situation.

Les contraintes imposent que l'angle soit inférieur à 55 degrés.

1. On note la fonction dérivée de la fonction sur l'intervalle .

On admet que pour tout de l'intervalle , .

Etudier les variations de la fonction sur l'intervalle .

La fonction est dérivable sur et on a :

avec :

  • ;

  • ;

Pour tout , , donc le signe de est le même que celui de .

Ce binôme du premier degré s'annule pour ce qui nous donne le tableau de variations :

2. Soit un réel de l'intervalle et soit le point d'abscisse de la courbe .

Justifier que

Avec les notations du dessin fourni ; en utilisant les relations trigonométriques dans le triangle rectangle PML nous avons :

or est le coefficient directeur de la tangente en M à la courbe représentative de , donc .

Ainsi on a bien : .

3. Le toboggan est-il conforme aux contraintes imposées ?

On détermine le maximum sur de en exploitant l'étude de la fonction faite à la question 1.

On remarque que pour tout , ; donc le maximum de est obtenu lorsque est minimum soit pour et ce maximum pour vaut : .

En outre .

Donc nous avons : .

Or pour en degré appartenant à ; la fonction tangente est croissante ce qui entraîne que et donc que le toboggan est conforme.

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