Sujet et corrigé de l'exercice 4 du bac S de maths de juin 2015 en Polynésie
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Le directeur d'un zoo souhaite faire construire un toboggan pour les pandas. Il réalise le schéma suivant de ce toboggan en perspective cavalière.
Partie A : Modélisation
Le profil de ce toboggan est modélisé par la courbe représentant la fonction définie sur l'intervalle par :
où et sont deux entiers naturels.
La courbe est tracée ci-dessous dans un repère orthonormé dont l'unité est le mètre.
1. On souhaite que la tangente à la courbe en son point d'abscisse 1 soit horizontale.
Déterminer la valeur de l'entier .
La fonction est dérivable sur et pour tout :
avec :
;
;
Nous traduisons la contrainte donnée par soit :
Donc
2. On souhaite que le haut du toboggan soit situé entre 3,5 et 4 mètres de haut.
Déterminer la valeur de l'entier .
Cette fois la contrainte s'exprime par :
avec et .
L'unique entier tel que est .
Donc finalement :
Partie B : Un aménagement pour les visiteurs
On admet dans la suite que la fonction introduite dans la partie A est définie pour tout réel par :
Le mur de soutènement du toboggan sera peint par un artiste sur une seule face, hachurée sur le schéma en début d'exercice. Sur le devis qu'il propose, celui-ci demande un forfait de 300 euros augmenté de 50 euros par mètre carré peint.
1. Soit la fonction définie sur par :
Déterminer la fonction dérivéé de la fonction .
La fonction est dérivable sur et on a :
, avec :
;
;
2. Quel est le montant du devis de l'artiste ?
A la question précédente nous avons remarqué que , donc est une primitive de .
En outre, pour tout , .
Donc l'aire du domaine délimité par la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équations et s'exprime par :
Le montant du devis de l'artiste sera par conséquent de :
€.
Partie C : Une contrainte à vérifier
Des raisons de sécurité imposent de limiter la pente maximale du toboggan.
On considère un point de la courbe , d'abscisse différente de 1.
On appelle l'angle aigu formé par la tangente en à et l'axe des abscisses.
La figure suivante illustre la situation.
Les contraintes imposent que l'angle soit inférieur à 55 degrés.
1. On note la fonction dérivée de la fonction sur l'intervalle .
On admet que pour tout de l'intervalle , .
Etudier les variations de la fonction sur l'intervalle .
La fonction est dérivable sur et on a :
avec :
;
;
Pour tout , , donc le signe de est le même que celui de .
Ce binôme du premier degré s'annule pour ce qui nous donne le tableau de variations :
2. Soit un réel de l'intervalle et soit le point d'abscisse de la courbe .
Justifier que
Avec les notations du dessin fourni ; en utilisant les relations trigonométriques dans le triangle rectangle PML nous avons :
or est le coefficient directeur de la tangente en M à la courbe représentative de , donc .
Ainsi on a bien : .
3. Le toboggan est-il conforme aux contraintes imposées ?
On détermine le maximum sur de en exploitant l'étude de la fonction faite à la question 1.
On remarque que pour tout , ; donc le maximum de est obtenu lorsque est minimum soit pour et ce maximum pour vaut : .
En outre .
Donc nous avons : .
Or pour en degré appartenant à ; la fonction tangente est croissante ce qui entraîne que et donc que le toboggan est conforme.
