Sujet et corrigé de l'exercice 1 du bac S de maths d'avril 2016 à Pondichéry
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Les deux parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.
Partie A
Des études statistiques ont permis de modéliser le temps hebdomadaire, en heures, de connexion à internet des jeunes en France âgés de 16 à 24 ans par une variable aléatoire 
suivant une loi normale de moyenne 
et d'écart-type 
.
La fonction densité de probabilité de est représentée ci-dessous :
1. On sait que 
.
En exploitant cette information :
a) Hachurer sur le graphique, deux domaines distincts dont l'aire est égale à 0,023.
Pour la loi normale considérée, par symétrie :
.
Du coup chacun des deux domaines colorés en jaune sur le dessin ci-dessous a une aire égale à 0,023 u.a.
b) Déterminer 
. Justifier le résultat.
Montrer qu'une valeur approchée de au dixième est 4,1.
La probabilité ainsi calculée est la probabilité d'un intervalle centré sur 
et de rayon 
; de plus la valeur obtenue correspondant sensiblement à la probabilité de « l'intervalle à 2 », c'est à dire que nous avons :
Du coup 
et donc 
, arrondi au dixième.
2. On choisit un jeune en France au hasard.
Déterminer la probabilité qu'il soit connecté à internet plus de 18 heures par semaine.
Arrondir au centième.
En utilisant la calculette on trouve environ 0,16.
Partie B
Dans cette partie, les valeurs seront arrondies au millième.
Le Hadopi (Haute Autorité pour la diffusion des oeuvres et la protection des droits sur internet) souhaite connaître la proportion en France de jeunes âgés de 16 à 24 ans pratiquant au moins une fois par semaine le téléchargement illégal sur internet. Pour cela, elle envisage de réaliser un sondage.
Mais la Hadopi craint que les jeunes interrogés ne répondent pas tous de façon sincère. Aussi, elle propose le protocole 
suivant :
On choisit aléatoirement un échantillon de jeunes âgés de 16 à 24 ans.
Pour chaque jeune de cet échantillon :
le jeune lance un dé équilibré à 6 faces ;
l'enquêteur ne connaît pas le résultat du lancer ;
l'enquêteur pose la question : « Effectuez-vous un téléchargement illégal au moins une fois par semaine ? » ;
si le résultat du lancer est pair alors le jeune doit répondre à la question par « Oui » ou « Non » de façon sincère ;
si le résultat du lancer est « 1 », alors le jeune doit répondre « Oui » ;
si le résultat du lancer est « 3 ou 5 », alors le jeune doit répondre « Non ».
Grâce à ce protocole, l'enquêteur ne sait jamais si la réponse donnée porte sur la question posée ou résulte du lancer de dé, ce qui encourage les réponses sincères.
On note 
la proportion inconnue de jeunes âgés de 16 à 24 ans qui pratiquent au moins une fois par semaine le téléchargement illégal sur internet.
1. Calculs de probabilités
On choisit aléatoirement un jeune faisant partie du protocole .
On note :
R l'événement « le résultat du lancer est pair » ;
O l'événement « le jeune a répondu Oui ».
Reproduire et compléter l'arbre pondéré ci-dessous :
En déduire que la probabilité 
de l'événement « le jeune a répondu Oui » est :
Arbre :
Les événements R et 
forment une partition de l'univers associé à l'expérience aléatoire et d'après la formule des probabilités totales nous avons :
2. Intervalle de confiance
a) A la demande de la Hadopy, un institut de sondage réalise une enquête selon le protocole . Sur un échantillon de taille 1500, il dénombre 625 réponses « Oui ».
Donner un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95 %, de la proportion de jeunes qui répondent « Oui » à un tel sondage, parmi la population des jeunes français âgés de 16 à 24 ans.
Nous utilisons la « formule toute faite » du cours : pour un échantillon de taille 
et une fréquence observée 
, l'intervalle de confiance considéré est :
soit 
b) Que peut-on en conclure sur la proportion de jeunes qui pratiquent au moins une fois par semaine le téléchargement illégal sur internet ?
Avec la « fourchette » obtenue avec l'intervalle de confiance de la question précédente on a :
On peut donc estimer que la proportion de jeunes âgés de 16 à 24 ans qui pratiquent au moins une fois par semaine le téléchargement illégal sur internet est comprise entre 45 % et 55 %.
