Bac de maths

Sujet et corrigé de l'exercice 2 du bac S de maths d'avril 2016 à Pondichéry

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L'objectif de cet exercice est de trouver une méthode pour construire à la règle et au compas un pentagone régulier.

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct , on considère le pentagone régulier de centre O tel que .

On rappelle que dans le pentagone régulier ci-dessous :

1. On considère les points B d'affixe et J d'affixe .

Le cercle de centre J et de rayon coupe le segment [BJ] en un point K.

Calculer BJ, puis en déduire BK.

On désigne par l'affixe de B et par l'affixe de J et on a :

Le point K appartient au cercle de centre J et de rayon , donc .

Un petit dessin pour mieux saisir la situation :

2.

a) Donner sous forme exponentielle l'affixe du point .

Justifier brièvement.

Pour le module c'est 1, puisque le point est sur le cercle trigonométrique.

Pour un argument on remarque que :

Ainsi l'affixe du point peut s'écrire :

b) Démontrer que .

L'affixe de est .

c) Un logiciel de calcul formel affiche les résultats ci-dessous, que l'on pourra utiliser sans justification :

En déduire, grâce à ces résultats, que .

En utilisant la ligne 1 du logiciel de calcul formel on a :

Maintenant en utilisant la ligne 2 du logiciel de calcul formel on obtient :

Le résultat obtenu coïncide avec le résultat obtenu pour BK, donc on a bien .

3. Dans le repère construire à la règle et au compas un pentagone régulier. N'utiliser ni le rapporteur ni les graduations de la règle et laisser apparents les traits de construction.

  • On commence par construire le cercle trigonométrique et on place le point .

  • On place le point L de coordonnées ; le cercle de centre L et de rayon 1 coupe le cercle trigonométrique en L' et L'' ; la droite (L'L'') coupe [OL] en son milieu ce qui donne le point J.

  • On place le point B et on trace le cercle de centre J et de rayon , puis l'intersection avec [BJ] donne le point K.

  • On pique le compas en B et l'intersection du cercle de centre B et de rayon BK avec le cercle trigonométrique donne les points et .

  • On pique maintenant le compas en et l'intersection du cercle de centre et de rayon avec le cercle trigonométrique donne les points et

  • Il reste à joindre les points , , , et pour obtenir le pentagone.

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