Bac de maths

Sujet et corrigé de l'exercice 5 du bac S de maths d'avril 2016 à Pondichéry

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On souhaite stériliser une boîte de conserve.

Pour cela, on la prend à la température ambiante  C et on la place dans un four à température constante  C.

La stérilisation débute dès lors que la température de la boîte est supérieure à  C.

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes

Partie A : Modélisation discrète

Pour entier naturel, on note la température en degré Celsius de la boîte au bout de minutes. On a donc .

Pour non nul, la valeur est calculée puis affichée par l'algorithme suivant :

1. Déterminer la température de la boîte de conserve au bout de 3 minutes.

Arrondir à l'unité.

En utilisant l'algorithme la variable prend successivement les valeurs indiquées dans le tableau ci-dessous :

Donc arrondi à l'unité la température de la boîte de conserve au bout de 3 minutes est 54° C.

2. Démontrer que, pour tout entier naturel , on a .

Soit  : «  »

Montrons par récurrence, que est vraie pour tout entier naturel .

Initialisation au rang 0

Donc est vraie.

Hérédité

Supposons qu'à un rang ; soit vraie, c'est à dire que .

Montrons qu'alors est vraie.

Donc est vraie.

La propriété considérée est vraie au rang 0 et elle est héréditaire donc elle est vraie pour tout entier naturel .

3. Au bout de combien de minutes la stérilisation débute-elle ?

On résout l'inéquation est un entier naturel.

En appliquant la fonction logarithme (strictement croissante sur ) à chaque membre cela équivaut à :

Avec .

Donc la stérilisation débute au bout de 10 minutes.

Partie B : Modélisation continue

Dans cette partie, désigne un réel positif.

On suppose désormais qu'à l'instant (exprimé en minutes), la température de la boîte est donnée par (exprimée en degré Celsius) avec :

1.

a) Etudier le sens de variations de sur .

La fonction est dérivable sur et nous avons :

avec ;

comme ; et pour tout , , donc ce qui montre que est strictement croissante sur .

b) Justifier que si alors .

Comme est croissante, si , alors ; or :

ce qui donne bien .

2. Soit un réel supérieur ou égal à 10.

On note le domaine délimité par les droites d'équation , , et la courbe représentative de .

On considère que la stérilisation est finie au bout d'un temps , si l'aire, exprimée en unité d'aire du domaine est supérieure à .

a) Justifier, à l'aide du graphique, que l'on a .

Sur le graphique chaque rectangle de la grille du repère représente 25 u.a. On évalue par lecture graphique que l'aire du domaine considéré est supérieure à l'aire de 4 rectangles soit supérieure à 100 u.a. donc .

b) Justifier que, pour , on a .

Pour tout ; donc est située au dessus de la droite d'équation . Par conséquent pour :

c) La stérilisation est-elle finie au bout de 20 minutes ?

On calcule :

Une primitive sur de la fonction est .

Donc la stérilisation n'est pas terminée au bout de 20 minutes puisque .

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