Corrigé de l'exercice 2 de maths du bac S de mai 2012 en Amérique du nord
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Partie A : Restitution organisée de connaissances
On rappelle que
.
Démontrer que 
.
Pour tout 
, on considère l'expression 
.
Posons 
.
On a 
.
Du coup on a :
.
En utilisant le prérequis et par inverse on obtient le résultat 0.
, on considère l'expression .
Posons .
On a .
Du coup on a :
.
En utilisant le prérequis et par inverse on obtient le résultat 0.
Partie B
On considère la fonction
définie sur 
par
sa courbe représentative dans un repère orthonormal 
.
1. Soit 
la fonction définie sur par
est positive sur .
Pour tout 
, 
, donc 
et de même 
.
Donc 
(qui est la somme de 
et 
) est également positif.
2.a. Montrer que, pour tout , , donc et de même .
Donc (qui est la somme de et ) est également positif.
de , 
.
La fonction est définie et dérivable sur et on a :
, avec :
est définie et dérivable sur et on a :
, avec :
b. En déduire le sens de variation de
sur .
Pour , le signe de 
est le même que celui de .
On a vu que pour tout , 
(et ne s'annule que pour 
), on en déduit que est strictement croissante sur .
c. On considère la droite , le signe de est le même que celui de .
On a vu que pour tout , (et ne s'annule que pour ), on en déduit que est strictement croissante sur .
d'équation 
.
Dans l'énoncé original il faut établir que 
est une asymptote oblique à la courbe 
.
La notion d'asymptote oblique est hors programme à compter de la rentrée scolaire 2012.
d. Etudier la position de la courbe est une asymptote oblique à la courbe .
La notion d'asymptote oblique est hors programme à compter de la rentrée scolaire 2012.
par rapport à la droite .
On étudie le signe de 
.
Pour , le signe de l'expression est le même que celui de 
soit négatif (et nul pour ).
On en déduit que :
3. Pour tout entier naturel .
Pour , le signe de l'expression est le même que celui de soit négatif (et nul pour ).
On en déduit que :
- pour , et se coupent,
- pour
, est au dessus de .
supérieur ou égal à 2, on note
respectivement 
et 
les points d'abscisse de et .
a. Montrer que, pour tout entier naturel supérieur ou égal à 2, la distance 
entre les points et est
donnée par 
.
Comme on vient de voir que pour tout , est au dessus de on en déduit que pour tout entier 
on a :
b. Ecrire un algorithme déterminant le plus petit entier , est au dessus de on en déduit que pour tout entier on a :
supérieur ou égal à 2 tel que la distance soit inférieur ou égale à 
.
Variables
k : nombre entier
distance : nombre réel
Initialisation
Traitement
Tant que distance
faire
Fin Tant que
Sortie
Afficher k
Traitement
Tant que distance faire
Fin Tant que
Sortie
Afficher k
