Corrigé de l'exercice 3 du bac S de maths de mai 2012 en Amérique du nord
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Cet exercice est complétement hors programme à compter de la session 2013 du baccalauréat.
Soit 
une fonction définie et dérivable sur 
telle
que :
.
Partie A
1. Déterminer le sens de variation de sur .
De manière évidente, pour tout 
, on a 
, donc est strictement croissante sur .
, on a , donc est strictement croissante sur .
2. Soit
la fonction définie sur 
par 
.
a. Justifier que est dérivable sur , puis que,
pour tout 
de , 
.
La fonction est composée de la fonction 
définie et dérivable sur à valeurs dans suivie de la fonction
définie et dérivable sur , donc est définie et dérivable sur .
En utilisant la formule de la dérivée d'une composée on a pour tout 
:
est composée de la fonction définie et dérivable sur à valeurs dans suivie de la fonction
définie et dérivable sur , donc est définie et dérivable sur .
En utilisant la formule de la dérivée d'une composée on a pour tout :
b. Montrer que, pour tout
de , 
, en
déduire que 
.
La fonction est une primitive de la fonction constante 1, donc 
avec 
.
Comme 
, on a 
, soit 
.
Donc finalement, 
.
On calcule maintenant :
Du coup, 
.
3. Montrer que, pour tout est une primitive de la fonction constante 1, donc avec .
Comme , on a , soit .
Donc finalement, .
On calcule maintenant :
Du coup, .
de , 
.
On a vu que est strictement croissante donc :
.
est strictement croissante donc :
.
Partie B
Soit
la suite définie par 
et, pour tout entier naturel 
non nul,
.
1. Montrer à l'aide d'une intégration par parties que, 
.
Pour calculer 
, on pose :
.
Les fonctions 
et 
qui interviennent sont définies et dérivables sur et à dérivées continues donc on a d'après
la formule d'intégration par parties :
car 
et comme sur la fonction 
est strictement positive, une primitive de
est 
.
Pour finir :
2.a. Montrer que, pour tout entier naturel non nul , on pose :
.
Les fonctions et qui interviennent sont définies et dérivables sur et à dérivées continues donc on a d'après
la formule d'intégration par parties :
car et comme sur la fonction est strictement positive, une primitive de
est .
Pour finir :
, 
.
Pour tout et tout entier naturel 
, on a :
et 
.
b. Montrer que, pour tout entier naturel non nul et tout entier naturel , on a :
-
,
-
(question A.3.).
et .
, 
.
On a vu (question A.3.) que pour tout , 
et donc 
.
L'intégration conserve l'ordre (quand la borne basse est inférieur à la borne haute, ce qui est le cas ici), donc :
Donc on a bien, 
.
c. En déduire la limite de la suite , et donc .
L'intégration conserve l'ordre (quand la borne basse est inférieur à la borne haute, ce qui est le cas ici), donc :
Donc on a bien, .
.
Soit la suite 
définie pour tout entier , par 
.
On a 
et par produit 
.
Du coup, 
avec 
.
Donc d'après le théorème des gendarmes la suite converge vers 0.
définie pour tout entier , par .
On a et par produit .
Du coup, avec .
Donc d'après le théorème des gendarmes la suite converge vers 0.
