Sujet et corrigé de l'exercice 1 du bac S de maths de mai 2013 en Amérique du nord
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On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé. On considère les points A
, B
, C
et D
.
1. Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
On calcule, par exemple, les coordonnées des vecteurs 
et 
:
Les coordonnées de ces vecteurs ne sont pas proportionnelles donc ils ne sont pas colinéaires ce qui montre que les points A, B et C ne sont pas alignés.
2. Soit et :
Les coordonnées de ces vecteurs ne sont pas proportionnelles donc ils ne sont pas colinéaires ce qui montre que les points A, B et C ne sont pas alignés.
la droite passant par le point D et de vecteur directeur 
.
a. Démontrer que la droite est orthogonale au plan (ABC).
Les vecteurs et ci-dessus sont deux vecteurs non colinéaires du plan, de plus on a :
Du coup 
est orthogonal aux vecteurs et ce qui entraîne que
est un vecteur normal au plan (ABC) et que la droite est orthogonale à ce plan.
et ci-dessus sont deux vecteurs non colinéaires du plan, de plus on a :
Du coup est orthogonal aux vecteurs et ce qui entraîne que
est un vecteur normal au plan (ABC) et que la droite est orthogonale à ce plan.
b. En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).
Comme est un vecteur normal au plan (ABC), ce plan admet une équation cartésienne de la forme :
Donc une équation cartésienne du plan (ABC) est 
c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite est un vecteur normal au plan (ABC), ce plan admet une équation cartésienne de la forme :
Donc une équation cartésienne du plan (ABC) est
.
En utilisant le point D et le vecteur on peut donner directement une représentation paramétrique de la droite en question :
d. Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite on peut donner directement une représentation paramétrique de la droite en question :
et du plan (ABC).
Il s'agit de résoudre le système :
Donc H
.
3. Soit
Donc H.
le plan d'équation 
et 
le plan d'équation 
.
a. Démontrer que les plans et sont sécants.
Par lecture directe sur les équations cartésiennes on trouve des vecteurs normaux 
et 
de
et 
:
On remarque que ces vecteurs ne sont pas colinéaires donc les plans et ne sont pas parallèles et par conséquent ils sont sécants.
b. Vérifier que la droite et de
et :
On remarque que ces vecteurs ne sont pas colinéaires donc les plans et ne sont pas parallèles et par conséquent ils sont sécants.
, intersection des plans et , a pour représentation paramétrique
.
Les points de la droite sont les points dont les coordonnées sont 
, on vérifie que ces points appartiennent
aux deux plans à l'aide des équations cartésiennes.
Pour :
Pour :
Donc est bien la droite d'intersection des deux plans.
c. La droite sont les points dont les coordonnées sont , on vérifie que ces points appartiennent
aux deux plans à l'aide des équations cartésiennes.
Pour :
Pour :
Donc est bien la droite d'intersection des deux plans.
et le plan (ABC) sont-ils sécants ou parallèles ?
Par lecture sur la représentation paramétrique un vecteur directeur de est 
, on calcule
le produit scalaire avec le vecteur (vecteur normal à (ABC)) ce qui donne :
Donc 
et sont orthogonaux ce qui montre que la droite est parallèle au plan (ABC).
est , on calcule
le produit scalaire avec le vecteur (vecteur normal à (ABC)) ce qui donne :
Donc et sont orthogonaux ce qui montre que la droite est parallèle au plan (ABC).
