Sujet et corrigé de l'exercice 3 du bac S de maths de mai 2013 en Amérique du nord
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Une boulangerie industrielle utilise une machine pour fabriquer des pains de campagne pesant en moyenne 400 grammes. Pour être vendus aux clients, ces pains doivent peser au moins 385 grammes. Un pain dont la masse est strictement inférieure à 385 grammes est un pain non-commercialisable, un pain dont la masse est supérieure ou égale à 385 grammes est commercialisable. La masse d'un pain fabriqué par la machine peut être modélisée par une variable aléatoire
suivant la loi normale d'espérance 
et d'écart-type 
.
Les probabilités seront arrondies au millième le plus proche
Partie A
On pourra utiliser le tableau suivant dans lequel les valeurs sont arrondies au millième le plus proche.
.
(en utilisant les valeurs du tableau).
qu'un pain choisi au hasard dans la production soit commercialisable.
On sait qu'un pain est commercialisable s'il pèse au moins 385 g donc on calcule :
3. Le fabricant trouve cette probabilité
trop faible.
Il décide de modifier ses méthodes de production afin de faire varier la valeur de 
sans modifier celle de 
.
Pour quelle valeur de la probabilité qu'un pain soit commercialisable est-elle égale à 96 % ? On arrondira le résultat au dixième.
On pourra utiliser le résultat suivant : lorsque 
est une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance 
et d'écart-type 1, on a 
.
La variable aléatoire centrée réduite associée à est définie par 
.
Comme n'est pas modifiée cela donne 
.
En outre on sait que suit la loi normale centrée réduite.
On cherche tel que :
D'après le résultat donné dans l'énoncé on en déduit que :
.
centrée réduite associée à est définie par .
Comme n'est pas modifiée cela donne .
En outre on sait que suit la loi normale centrée réduite.
On cherche tel que :
D'après le résultat donné dans l'énoncé on en déduit que :
.
Partie B
Les méthodes de production ont été modifiées dans le but d'obtenir 96 % de pains commercialisables. Afin d'évaluer l'efficacité de ces modifications, on effectue un contrôle qualité sur un échantillon de 300 pains fabriqués. 1. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de pains commercialisables dans un échantillon de taille 300.
On utilise la « formule » du cours :
et 
.
On peut déjà vérifier que les conditions usuelles d'utilisation sont satisfaites :
et l'intervalle demandé est :
soit 
.
2. Parmi les 300 pains de l'échantillon, 283 sont commercialisables.
Au regard de l'intervalle de fluctuation obtenu à la question 1, peut-on décider que l'objectif a été atteint ?
et .
On peut déjà vérifier que les conditions usuelles d'utilisation sont satisfaites :
- ; donc
-
; donc 
-
; donc 
et l'intervalle demandé est :
soit .
La proportion de pains commercialisables observée dans l'échantillon est 
.
Cette valeur appartient à l'intervalle de fluctuation dont on peut décider que l'objectif est atteint.
.
Cette valeur appartient à l'intervalle de fluctuation dont on peut décider que l'objectif est atteint.
Partie C
Le boulanger utilise une balance électronique. Le temps de fonctionnement sans dérèglement, en jours, de cette balance électronique est une variable aléatoire
qui suit une loi exponentielle de paramètre 
.
1. On sait que la probabilité que la balance électronique ne se dérègle pas avant 30 jours est de 
. En déduire la valeur de arrondie au millième.
La variable aléatoire suit une loi exponentielle de paramètre dont la fonction de densité est la fonction : 
, du coup
pour tout réel 
:
Les données de l'énoncé permettent d'écrire :
Dans toute la suite on prendra suit une loi exponentielle de paramètre dont la fonction de densité est la fonction : , du coup
pour tout réel :
Les données de l'énoncé permettent d'écrire :
.
2. Quelle est la probabilité que la balance électronique fonctionne encore sans dérèglement après 90 jours, sachant qu'elle a fonctionné sans dérèglement 60 jours ?
On cherche :
car la variable aléatoire vérifie la propriété de durée de vie sans vieillissement puisqu'elle suit une loi exponentielle.
3. Le vendeur de cette balance électronique a assuré au boulanger qu'il y avait une chance sur deux pour que la balance ne se dérègle pas avant un an.
A-t-il raison ? Si non, pour combien de jours est-ce vrai ?
car la variable aléatoire vérifie la propriété de durée de vie sans vieillissement puisqu'elle suit une loi exponentielle.
On calcule la probabilité que la balance fonctionne encore au bout d'un an :
.
On obtient un résultat bien « loin » de 0,5 ; donc le vendeur n'a pas raison.
On cherche maintenant le nombre 
de jours tels que 
ce qui donne :
Donc l'affirmation est vraie pour 231 jours environ.
.
On obtient un résultat bien « loin » de 0,5 ; donc le vendeur n'a pas raison.
On cherche maintenant le nombre de jours tels que ce qui donne :
Donc l'affirmation est vraie pour 231 jours environ.
