Sujet et corrigé de l'exercice de spécialité du bac S de maths de mai 2013 en Amérique du nord
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Partie A
On considère l'algorithme suivant :
et 
en indiquant les valeurs des variables à chaque étape.
En sortie l'algorithme affiche 3 et 1.
2. Que permet de calculer cet algorithme ?
Cet algorithme calcule le quotient et le reste de la division euclidienne de 
par 
par la méthode des soustractions successives.
par par la méthode des soustractions successives.
Partie B
A chaque lettre de l'alphabet, on associe, grâce au tableau ci-dessous, un nombre entier compris entre
et 
.
On définit un procédé de codage de la façon suivante :
- Etape 1 : A la lettre que l'on veut coder, on associe le nombre
correspondant dans le tableau.
- Etape 2 : On calcule le reste de la division euclidienne de
par 
et on le note 
.
- Etape 3 : Au nombre , on associe la lettre correspondante dans le tableau.
- La lettre U est associée au nombre 20.
-
.
- On code la lettre U par la lettre D.
2. Modifier l'algorithme de la partie A pour qu'à une valeur de
entrée par l'utilisateur, il affiche la valeur de , calculée à l'aide du procédé de codage précédent.
Dans l'algorithme précédent il faut prendre 
et 
et en sortie afficher uniquement le reste (qui figure dans la variable ), la variable 
devient ainsi inutile. Cela donne :
et et en sortie afficher uniquement le reste (qui figure dans la variable ), la variable devient ainsi inutile. Cela donne :
Partie C
1. Trouver un nombre entier
tel que 
.
On trouve très facilement que 
.
2. Démontrer alors l'équivalence :
.
La lettre B correspond à 
.
On cherche l'entier 
tel que 
, soit 
.
Or 
, donc 
, ce qui correspond à la lettre O.
.
On cherche l'entier tel que , soit .
Or , donc , ce qui correspond à la lettre O.
