Sujet et corrigé de l'exercice 1 du bac S de maths de mai 2014 en Amérique du nord
Cacher les corrigés
Dans cet exercice, tous les résultats demandés seront arrondis à près.
Une grande enseigne de cosmétiques lance une nouvelle crème hydratante.
Partie A : Conditionnement des pots
Cette enseigne souhaite vendre la nouvelle crème sous un conditionnement de 50 mL et dispose pour ceci de pots de contenance maximale 55 mL.
On dit qu'un pot de crème est non conforme s'il contient moins de 49 mL de crème.
1. Plusieurs séries de tests conduisent à modéliser la quantité de crème, exprimée en mL, contenue dans chaque pot par une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance et d'écart-type .
Calculer la probabilité qu'un pot de crème soit non conforme.
En utilisant la calculette on trouve :
2. La proportion de pots de crème non conformes est jugée trop importante.
En modifiant la viscosité de la crème, on peut changer la valeur de l'écart-type de la variable aléatoire , sans modifier son espérance .
On veut réduire à 0,06 la probabilité qu'un pot choisi au hasard soit non conforme.
On note le nouvel écart-type, et la variable aléatoire égale à
a. Préciser la loi que suit la variable aléatoire .
La variable aléatoire suit la loi normale centrée réduite, c'est à dire de moyenne 0 et d'écart-type 1.
b. Déterminer une valeur approchée du réel tel que .
En utilisant la calculette on trouve :
c. En déduire la valeur attendue de .
On cherche pour que soit :
3. Une boutique commande à son fournisseur 50 pots de cette nouvelle crème.
On considère que le travail sur la viscosité de la crème a permis d'atteindre l'objectif fixé et donc que la proportion de pots non conformes dans l'échantillon est 0,06.
Soit la variable aléatoire égale au nombre de pots non conformes parmi les 50 pots reçus.
a. On admet que suit une loi binomiale. En donner les paramètres.
Les paramètres de la loi binomiale sont (nombre de pots) et (probabilité qu'un pot ne soit pas conforme).
b. Calculer la probabilité que la boutique reçoive deux pots non conformes ou moins.
En remarquant que on a :
Partie B : Campagne publicitaire
Une association de consommateurs décide d'estimer la proportion de personnes satisfaites par l'utilisation de la crème.
Elle réalise un sondage parmi les personnes utilisant ce produit.
Sur 140 personnes interrogées, 99 se déclarent satisfaites.
Estimer, par l'intervalle de confiance au seuil de 95 %, la proportion de personnes satisfaites parmi les utilisateurs de la crème.
L'intervalle de confiance considéré est : soit :
Au vu de ce sondage, on peut estimer que la proportion de personnes satisfaites est comprise entre 0,623 et 0,792.
