Corrigé de l'exercice 3 du bac S de maths de novembre 2012 en Amérique du sud
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Au cours d'une séance, un joueur de tennis s'entraîne à faire des services. Pour tout entier naturel non nul, on note
l'évènement «le joueur réussit le 
-ième service» et 
l'évènement contraire.
Soit 
la probabilité de et 
celle de .
La probabilité qu'il réussisse le premier service est égale à 
.
On suppose de plus que les deux conditions suivantes sont réalisées
- si le joueur réussit le -ième service, alors la probabilité qu'il réussisse le suivant vaut
;
- si le joueur ne réussit pas le -ième service, alors la probabilité qu'il réussisse le suivant vaut .
1. On s'intéresse aux deux premiers services de l'entraînement. Soit
la variable aléatoire égale au nombre de services réussis sur ces deux premiers services.
a. Déterminer la loi de probabilité de . (On pourra utiliser un arbre de probabilités)
de la variable aléatoire .
2. On s'intéresse maintenant au cas général. a. Donner les probabilités conditionnelles
et 
.
D'après l'énoncé on a directement :
et 
b. Montrer que, pour tout entier naturel non nul et
, on a : 
.
On se place à l'étape : 
et 
constituent un système complet d'événements, donc d'après la formule des probabilités totales :
or 
(car et sont complémentaires), donc 
.
En remplaçant il vient :
3. Soit la suite : et constituent un système complet d'événements, donc d'après la formule des probabilités totales :
or (car et sont complémentaires), donc .
En remplaçant il vient :
définie pour tout entier naturel non nul par 
.
a. Déterminer la nature de la suite .
Pour tout entier naturel non nul on a :
Donc 
est une suite géométrique de raison 
et de premier terme :
.
b. En déduire la limite de la suite non nul on a :
Donc est une suite géométrique de raison et de premier terme :
.
.
D'après la question précédente on a : 
De 
, on tire 
soit 
Comme 
; 
.
Donc par opérations sur les limites : 
.
De , on tire soit
Comme ; .
Donc par opérations sur les limites : .
