Corrigé de l'exercice 4 du bac S de maths de novembre 2012 en Amérique du sud
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L'espace est muni d'un repère orthonormé
.
Soit 
le plan d'équation cartésienne 
et soit S le point de coordonnées 
.
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, et proposer une démonstration de la réponse indiquée.
1. Les points d'intersection du plan
avec les trois axes du repère sont les sommets d'un triangle isocèle.
Soit A
le point d'intersection de avec l'axe des abscisses, alors on a :
Donc A
On détermine de même sans difficulté les coordonnées du point B d'intersection avec l'axe des ordonnées :
Donc B
Enfin, on trouve les coordonnées du point C d'intersection avec l'axe des cotes :
Donc C
On calcule maintenant les longueurs des côtés du triangle ABC :
Ainsi les trois côtés du triangle sont de longueurs différentes donc ABC n'est pas isocèle.
L'affirmation est FAUSSE.
le point d'intersection de avec l'axe des abscisses, alors on a :
Donc A
On détermine de même sans difficulté les coordonnées du point B d'intersection avec l'axe des ordonnées :
Donc B
Enfin, on trouve les coordonnées du point C d'intersection avec l'axe des cotes :
Donc C
On calcule maintenant les longueurs des côtés du triangle ABC :
Ainsi les trois côtés du triangle sont de longueurs différentes donc ABC n'est pas isocèle.
L'affirmation est FAUSSE.
2. La droite
de représentation paramétrique
.
La droite 
passe par le point de coordonnées 
(on obtient ce point en prenant 
dans la représentation paramétrique).
or 
donc ce point n'appartient pas à et la droite ne peut pas être incluse dans .
L'affirmation est FAUSSE.
3. La droite passe par le point de coordonnées (on obtient ce point en prenant dans la représentation paramétrique).
or
donc ce point n'appartient pas à et la droite ne peut pas être incluse dans .
L'affirmation est FAUSSE.
de représentation paramétrique
passant par le point S.
Par lecture sur les représentations paramétriques les droites et 
ont pour vecteurs
directeurs respectivement 
et 
Ces deux vecteurs sont colinéaires donc et sont parallèles.
Il reste à vérifier que passe par S, pour cela on résout :
On aboutit à un système qui a une solution donc la droite passe pas S.
L'affirmation est VRAIE.
4. Le projeté orthogonal du point S sur le plan et ont pour vecteurs
directeurs respectivement et
Ces deux vecteurs sont colinéaires donc et sont parallèles.
Il reste à vérifier que passe par S, pour cela on résout :
On aboutit à un système qui a une solution donc la droite passe pas S.
L'affirmation est VRAIE.
a pour coordonnées
est le point d'intersection du plan avec la
droite orthogonale à passant par S.
On note H
.
On remarque déjà que le point H appartient au plan car :
Il reste à vérifier que 
est orthogonal au plan .
Un vecteur du plan est 
(lecture sur l'équation cartésienne).
On remarque que 
, donc est orthogonal au plan .
L'affirmation est VRAIE.
.
On remarque déjà que le point H appartient au plan car :
Il reste à vérifier que est orthogonal au plan .
Un vecteur du plan est (lecture sur l'équation cartésienne).
On remarque que , donc est orthogonal au plan .
L'affirmation est VRAIE.
La dernière question de ce sujet nécessite l'utilisation de la formule de la distance d'un point à un plan. Cette formule ne figure plus dans les programmes.
