Corrigé de l'exercice 1 du bac S de maths de juin 2012 en Asie
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Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si cette affirmation est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse correcte et justifiée rapporte 1 point. 1. Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal
,
on considère la droite 
dont on donne une représentation paramétrique, et le plan 
dont on donne une équation cartésienne :
est strictement parallèle au plan .
Par lecture directe sur la représentation paramétrique de , un vecteur directeur de cette droite est 
.
Par lecture directe sur l'équation cartésienne de , un vecteur normal de ce plan est 
.
On a de plus : 
Donc 
et 
sont orthogonaux, ce qui prouve que la droite est parallèle à .
En remplaçant 
par 0 dans la représentation paramétrique de , on obtient le point 
, et ce point n'appartient pas à car :
Du coup n'est pas inclue dans et est strictement parallèle à .
L'affirmation est VRAIE.
2. Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal , un vecteur directeur de cette droite est .
Par lecture directe sur l'équation cartésienne de , un vecteur normal de ce plan est .
On a de plus :
Donc et sont orthogonaux, ce qui prouve que la droite est parallèle à .
En remplaçant par 0 dans la représentation paramétrique de , on obtient le point , et ce point n'appartient pas à car :
Du coup n'est pas inclue dans et est strictement parallèle à .
L'affirmation est VRAIE.
,
on considère le point A
et le plan d'équation cartésienne : 
.
On rappelle que la distance 
du point 
au plan d'équation 
est donnée par :
est égale à 
.
En utilisant la formule rappelée on a directement :
Donc l'affirmation est FAUSSE.
3. Soit la fonction
Donc l'affirmation est FAUSSE.
définie pour tout réel 
par : 
.
On note 
la courbe représentative de la fonction dans un repère du plan.
Affirmation 3
La courbe admet deux asymptotes parallèles à l'axe des abscisses.
Pour savoir si la courbe admet deux asymptotes « horizontales » il faut déterminer les limites à l'infini.
Limite en 
, l'axe des abscisses est asymptote à .
Limite en 
, admet pour asymptote la droite d'équation 
.
L'affirmation est VRAIE.
4. Pour tout réel admet deux asymptotes « horizontales » il faut déterminer les limites à l'infini.
Limite en
-
et par composition 
- Par somme :
- Enfin, par quotient :
.
, l'axe des abscisses est asymptote à .
Limite en
-
et par composition 
- Par somme :
- Enfin, par quotient :
.
, admet pour asymptote la droite d'équation .
L'affirmation est VRAIE.
, on pose 
.
Affirmation 4
est négatif ou nul quelle que soit la valeur du réel supérieur à 1.
Si on prend, par exemple, 
, on a 
avec la fonction
qui est strictement positive pour tout 
, donc l'intégrale est aussi strictement positive.
L'affirmation est FAUSSE.
, on a avec la fonction
qui est strictement positive pour tout , donc l'intégrale est aussi strictement positive.
L'affirmation est FAUSSE.
Il y avait une dernière question dans ce sujet, mais elle nécessite l'utilisation d'une intégration par parties qui ne fait plus partie du programme à compter de la rentrée 2012/2013.
