Corrigé de l'exercice 2 du bac S de maths de juin 2012 en Asie
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Le plan est muni d'un repère orthonormal direct
.
On considère le point A, d'affixe 
,
le point A
d'affixe 
où 
désigne le conjugué de 
.
On note enfin B l'image du point A par la transformation complexe 
et 
l'affixe du point B.
1.a. Ecrire le nombre complexe sous forme exponentielle, puis placer les points A et A, dans le repère.
On prendra 2 cm comme unité graphique.
On a : 
.
Donc on peut écrire 
.
On cherche 
, tel que : 
, on peut prendre 
donc on a :
.
Donc on peut écrire .
On cherche , tel que : , on peut prendre donc on a :
b. Vérifier que
sous forme exponentielle, puis écrire le nombre complexe sous forme algébrique.
Placer alors le point B dans le même repère.
On a :
2. On considère le vecteur unitaire
, tel que 
, et la droite 
passant par O et de vecteur directeur .
a. Démontrer que le triangle OAB est rectangle isocèle en O.
On calcule :
Du coup on a :
b. Tracer la droite
Du coup on a :
-
donc 
, ce qui prouve que OAB est isocèle en O.
-
donc l'angle 
est droit ce qui prouve que OAB est rectangle en O.
, puis démontrer que est la bissectrice de l'angle 
.
En déduire que les points A et B sont symétriques par rapport à la droite .
D'une part :
D'autre part :
Du coup 
ce qui prouve que
qui passe par O, est la bissectrice de .
Le triangle OAB est isocèle en O donc la bissectrice issue de O est également la médiatrice du côté opposé [AB], il en résulte que A et B sont symétriques par rapport à .
D'autre part :
Du coup ce qui prouve que
qui passe par O, est la bissectrice de .
Le triangle OAB est isocèle en O donc la bissectrice issue de O est également la médiatrice du côté opposé [AB], il en résulte que A et B sont symétriques par rapport à .
Dans le sujet d'origine l'exercice se termine par des questions qui font intervenir des transformations du plan. Le traitement par les nombres complexes de transformations du plan
ne fait plus partie des programmes à partir de la rentrée 2012.
