Corrigé de l'exercice 3 du bac S de maths de juin 2012 en Asie
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Soit
un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Une urne contient boules noires et 3 boules blanches.
Ces 
boules sont indiscernables au toucher.
Une partie consiste à prélever au hasard successivement et avec remise deux boules dans cette urne.
On établit la règle de jeu suivante :
- un joueur perd 9 euros si les deux boules tirées sont de couleur blanche ;
- un joueur perd 1 euro si les deux boules tirées sont de couleur noire ;
- un joueur gagne 5 euros si les deux boules tirées sont de couleurs différentes ; on dit dans ce cas là qu'il gagne la partie.
Partie A
Dans la partie A, on pose
.
Ainsi l'urne contient 3 boules blanches et 7 boules noires indiscernables au toucher.
1. Un joueur joue une partie. On note 
la probabilité que le joueur gagne la partie, c'est-à-dire la probabilité qu'il ait tiré deux boules de couleurs différentes.
Démontrer que 
.
On peut représenter la situation par un arbre de probabilités en tenant compte du fait que les tirages se font avec remise.
N
désigne l'événement : « la première boule tirée est noire » ;
N
désigne l'évévénement : « la deuxième boule tirée est noire » ;
B désigne l'événement : « la première boule tirée est blanche » ;
B désigne l'évévénement : « la deuxième boule tirée est blanche ».
Il s'agit de calculer la probabilité de l'événement : 
.
Comme 
et 
sont incompatibles il vient :
désigne l'événement : « la première boule tirée est noire » ;
N désigne l'évévénement : « la deuxième boule tirée est noire » ;
B désigne l'événement : « la première boule tirée est blanche » ;
B désigne l'évévénement : « la deuxième boule tirée est blanche ».
Il s'agit de calculer la probabilité de l'événement : .
Comme et sont incompatibles il vient :
2. Soit
un entier tel que 
. Un joueur joue parties identiques et indépendantes.
On note 
la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de parties gagnées par le joueur, et 
la probabilité que le joueur gagne au moins une fois au cours des parties.
a. Expliquer pourquoi la variable suit une loi binomiale de paramètres et .
On répète de façon indépendante fois une expérience de Bernoulli dont la probabilité du succès est .
Donc la variabale aléatoire qui compte le nombre de succès suit une loi binomiale 
.
b. Exprimer fois une expérience de Bernoulli dont la probabilité du succès est .
Donc la variabale aléatoire qui compte le nombre de succès suit une loi binomiale .
en fonction de , puis calculer 
, en arrondissant au millième.
Donc 
.
On cherche tel que :
avec 
Donc il faut au moins jouer 9 parties.
tel que :
avec
Donc il faut au moins jouer 9 parties.
Partie B
Dans la partie B, le nombre est un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Un joueur joue une partie.
On note 
la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.
1.a. Justifier l'égalité : 
.
b. Ecrire la loi de probabilité de la variable aléatoire .
On fait un arbre comme dans la question A.1.
Les gains algébriques possibles sont :
:
2. On note E
-
: quand l'événement 
est réalisé.
(principe multiplicatif sur l'arbre)
-
: quand l'événement 
est réalisé.
.
-
: quand l'événement est réalisé.
:
l'espérance mathématique de la variable aléatoire .
On dit que le jeu est favorable au joueur lorsque l'espérance E est strictement positive.
Déterminer les valeurs de pour lesquelles ce jeu est favorable au joueur.
Pour 
; E
.
On étudie donc le signe du trinôme du second degré en question.
Son discriminant est 
.
Il admet donc deux racines qui sont : 
et 
On en déduit son signe pour :
entier de 4 à 26 inclus.
