Bac de maths

Corrigé de l'exercice 4 du bac S de maths de juin 2012 en Asie

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 1. On considère l'algorithme suivant :

 

 

Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour
et . Les valeurs successives de et seront arrondies au millième.
Dans la suite, et sont deux réels tels que .
On considère les suites et définies par et pour tout entier naturel :

 

 

2.a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel , on a et .
La propriété à montrer pour tout entier est :
: et
Initialisation au rang 0
On a et avec , donc est vraie.
Hérédité
On suppose que est vraie à un rang , c'est à dire qu'on a l'hypothèse de récurrence : et .
On cherche à montrer, qu'alors, est vraie.
  • , or par hypothèse, et , donc soit .
  • , or par hypothèse, et , donc , soit .
Donc est vraie.
La propriété est initialisée au rang 0 et elle est héréditaire, donc elle est vraie pour tout entier naturel .
b. Démontrer que, pour tout entier naturel : .
En déduire que, pour tout entier naturel , on a .
Donc pour tout entier naturel , , soit et comme et sont positifs on obtient , ce qui entraîne que pour tout entier : et comme on a le résultat pour tout entier naturel .
3.a. Démontrer que la suite est croissante.
Pour tout entier naturel , on a :
or pour tout , , donc et du coup , c'est à dire que ou encore que est croissante.
b. Comparer et .
En déduire le sens de variation de la suite .
Pour tout entier naturel :
or pour tout entier naturel , donc et du coup , soit et comme et on en déduit que c'est à dire que est décroissante.
4. Justifier que pour tout entier naturel , et en déduire que les suites et sont convergentes.
  • est croissante, donc elle est minorée par , soit ,
  • est décroissante, donc elle est majorée par , soit ,
  • on a
Donc finalement, pour tout entier naturel , on a : .
Ainsi la suite est croissante et majorée par , donc elle est convergence d'après le théorème sur la convergence des suites monotones, de même, la suite est décroissante et minorée par , donc elle est également convergente.

 

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