Corrigé de l'exercice 1 du bac S de maths de juin 2012 dans les centres étrangers
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On considère un cube ABCDEFGH d'arête de longueur 1. On se place dans le repère orthonormal
.
On considère les points I
, J
, K
et L
avec
un nombre réel appartenant à l'intervalle 
.
Les parties A et B sont indépendantes
Partie A
1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (IJ).
Un vecteur directeur de la droite (IJ) est 
soit
Donc une représentation paramétrique de la droite (IJ) est 
soit
Donc une représentation paramétrique de la droite (IJ) est
2. Démontrer que la droite (KL) a pour représentation paramétrique
Un vecteur directeur de (KL) est le vecteur 
soit
.
Donc une représentation paramétrique de (KL) s'écrit bien :
3. Démontrer que les droites (IJ) et (KL) sont sécantes si et seulement si soit
.
Donc une représentation paramétrique de (KL) s'écrit bien :
.
Les droites (IJ) et (KL) sont sécantes si et seulement si le système suivant admet un unique couple de solutions (pour les inconnues 
et 
) :
Le système ainsi obtenu admet un unique couple solution avec 
si et seulement on a l'égalité dans la première ligne du système donc si et seulement si
et ) :
Le système ainsi obtenu admet un unique couple solution avec si et seulement on a l'égalité dans la première ligne du système donc si et seulement si
Partie B
Dans toute la suite de l'exercice, on pose.
Le point L a donc pour coordonnées 
.
1. Démontrer que le quadrilatère IKJL est un parallélogramme.
On a d'une part : 
soit 
,
et d'autre part : 
soit 
.
Du coup 
ce qui prouve que IKJL est un parallélogramme.
La figure ci-dessous fait apparaître l'intersection du plan (IJK) avec les faces du cube ABCDEFGH telle qu'elle a été obtenue à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique.
On désigne par M le point d'intersection du plan (IJK) et de la droite (BF) et par N le point d'intersection du plan (IJK) et de la droite (DH).
soit ,
et d'autre part : soit .
Du coup ce qui prouve que IKJL est un parallélogramme.
de coordonnées 
est un vecteur normal au plan (IJK).
Les vecteurs 
et 
constituent un couple de vecteurs directeurs du plan (IJK).
Dans le repère orthonormal on a :
Ainsi, le vecteur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (IJK), donc le vecteur est normal au plan.
b. En déduire que le plan (IJK) a pour équation et constituent un couple de vecteurs directeurs du plan (IJK).
Dans le repère orthonormal on a :
Ainsi, le vecteur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (IJK), donc le vecteur est normal au plan.
.
On sait que le vecteur 
est un vecteur normal du plan donc une équation cartésienne du plan (IJK) est de la forme :
Donc une équation de (IJK) est bien .
c. En déduire les coordonnées des points M et N.
est un vecteur normal du plan donc une équation cartésienne du plan (IJK) est de la forme :
Donc une équation de (IJK) est bien .
Coordonnées de M
M est le point d'intersection de la droite (BF) avec le plan (IJK).
Un représentation paramétrique de la droite (BF) est : 
On résout le système :
Donc M
.
Coordonnées de N
N est le point d'intersection de la droite (DH) avec le plan (IJK).
Un représentation paramétrique de la droite (DH) est : 
On résout le système :
Donc N
.
On résout le système :
Donc M.
Coordonnées de N
N est le point d'intersection de la droite (DH) avec le plan (IJK).
Un représentation paramétrique de la droite (DH) est :
On résout le système :
Donc N.
