Corrigé de l'exercice 2 du bac S de maths de juin 2012 dans les centres étrangers
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On considère la suite
définie pour 
entier naturel non nul par :
la fonction définie sur 
par 
.
Démonter que la fonction 
définie sur par 
est une primitive sur de la fonction .
La fonction proposée est définie et dérivable sur et en utilisant la formule de dérivation d'une composée :
Donc est bien une primitive de .
proposée est définie et dérivable sur et en utilisant la formule de dérivation d'une composée :
Donc est bien une primitive de .
b. En déduire la valeur de
.
, supérieur ou égal à 1, on a :
Dans le sujet original, les élèves doivent établir cette relation en utilisant une intégration par parties qui ne
figure plus au programme depuis la rentrée 2012.
d. Calculer
et 
.
D'après la question précédente :
2. On considère l'algorithme suivant :
obtient-on en sortie de cet algorithme ?
On entre la première fois dans le Tant que avec la valeur 
et on calcule (en utilisant la relation de récurrence vue en 1.c.), à la deuxième itération 
et on calcule , ... , la dernière itération a lieu avec la valeur 
et on calcule 
.
Donc on obtient en sortie de cet algorithme.
3.a. Montrer que, pour tout entier naturel non nul et on calcule (en utilisant la relation de récurrence vue en 1.c.), à la deuxième itération et on calcule , ... , la dernière itération a lieu avec la valeur et on calcule .
Donc on obtient en sortie de cet algorithme.
, 
.
Pour tout 
, 
et 
, donc 
et l'intégrale aussi.
b. Montrer que la suite , et , donc et l'intégrale aussi.
est décroissante.
Pour tout entier 
on a :
or, pour tout , 
, 
et 
, du coup 
et l'intégrale est négative.
Par suite, 
, ce qui montre que la suite est décroissante.
c. En déduire que la suite on a :
or, pour tout , , et , du coup et l'intégrale est négative.
Par suite, , ce qui montre que la suite est décroissante.
est convergente.
On note 
sa limite.
D'après ce qui précède la suite est minorée par 0 et elle est décroissante donc elle est convergente.
4. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Déterminer la valeur de est minorée par 0 et elle est décroissante donc elle est convergente.
.
Pour tout , 
et 
, comme sur cet intervalle, 
, on a 
.
L'intégration de 0 à 1 conserve l'ordre ce qui donne :
avec : 
Ainsi pour tout entier , 
, avec 
, donc d'après le théorème
des gendarmes, la suite converge vers 0.
, et , comme sur cet intervalle, , on a .
L'intégration de 0 à 1 conserve l'ordre ce qui donne :
avec :
Ainsi pour tout entier , , avec , donc d'après le théorème
des gendarmes, la suite converge vers 0.
