Corrigé de l'exercice 3 du bac S de maths de juin 2012 dans les centres étrangers
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On considère l'équation (E) d'inconnue
réelle : 
.
Partie A : Conjecture graphique
Le graphique ci-dessous donne la courbe représentative de la fonction exponentielle et celle de la fonction
définie sur 
par :
A l'aide du graphique ci-dessus, conjecturer le nombre de solutions de l'équation (E) et leur encadrement par deux entiers consécutifs.
On conjecture que l'équation possède deux solutions : une située dans l'intervalle 
et l'autre dans 
.
et l'autre dans .
Partie B : Etude de la validité de la conjecture graphique
1.a. Etudier selon les valeurs de, le signe de 
.
Pour tout réel , on a 
, donc le signe de l'expression est le même que celui de 
.
Cette dernière expression est un binôme du premier degré qui s'annule pour 
, ce qui donne le tableau de signes (on remarquera que s'annule également pour 
mais
sans changer de signe) :
, on a , donc le signe de l'expression est le même que celui de .
Cette dernière expression est un binôme du premier degré qui s'annule pour , ce qui donne le tableau de signes (on remarquera que s'annule également pour mais
sans changer de signe) :
b. En déduire que l'équation (E) n'a pas de solution sur l'intervalle
.
Sur , 
,
or 
pour tout 
, donc on ne peut avoir, pour 
, .
c. Vérifier que 0 n'est pas solution de l'équation (E).
, ,
or pour tout , donc on ne peut avoir, pour , .
On a d'une part : 
,
et d'autre part : 
comme 
, 0 n'est pas solution de (E) !
2. On considère la fonction ,
et d'autre part :
comme , 0 n'est pas solution de (E) !
, définie pour tout nombre réel de 
par :
, l'équation (E) est équivalente à l'équation 
.
Sur l'intervalle considéré, d'après l'étude de signe de la question 1.a., les quantités qui interviennent dans les deux membres de l'équation sont strictement positives donc sous
réserve de travailler dans on a :
3.a. Montrer que, pour tout nombre réel on a :
appartenant à , on a :
La fonction , considérée est dérivable sur l'intervalle précisé et on a :
b. Déterminer les variations de , considérée est dérivable sur l'intervalle précisé et on a :
.
Pour tout réel de , 
, donc le signe de la dérivée est le même que celui de 
.
L'expression 
est un trinôme du second degré de discriminant :
,
Donc le trinôme possède deux racines qui sont :
et 
On en déduit le tableau de variations de :
Détails :
Le trinôme est positif entre les racines 
et 
, mais pour 
, le signe de 
est opposé à cause du qui figure au dénominateur ce qui explique la ligne du signe de la dérivée.
En utilisant la calculette : 
et 
.
Limite à droite en 0
et par composition 
.
Par somme on a finalement : 
.
Limite en 
On a une forme indéterminée et pour tout 
, on a :
(croissance comparée).
Par somme : 
Finalement par produit 
.
c. Déterminer le nombre de solutions de l'équation de , , donc le signe de la dérivée est le même que celui de .
L'expression est un trinôme du second degré de discriminant :
,
Donc le trinôme possède deux racines qui sont :
et
On en déduit le tableau de variations de :
et , mais pour , le signe de est opposé à cause du qui figure au dénominateur ce qui explique la ligne du signe de la dérivée.
En utilisant la calculette : et .
Limite à droite en 0
et par composition .
Par somme on a finalement : .
Limite en
On a une forme indéterminée et pour tout , on a :
(croissance comparée).
Par somme :
Finalement par produit .
et donner une valeur arrondie au centième de chaque solution.
D'après l'étude de la question précédente, sur 
, l'équation n'a pas de solution car sur cet intervalle le maximum de 
est strictement négatif.
En revanche sur l'intervalle 
, la fonction est continue et strictement croissante avec :
admet une unique solution 
dans .
De la même façon, l'équation admet une deuxième solution 
dans l'intervalle 
.
En utilisant la calculette on trouve :
et 
.
4. Conclure quant à la conjecture de la partie A.
, l'équation n'a pas de solution car sur cet intervalle le maximum de est strictement négatif.
En revanche sur l'intervalle , la fonction est continue et strictement croissante avec :
admet une unique solution dans .
De la même façon, l'équation admet une deuxième solution dans l'intervalle .
En utilisant la calculette on trouve :
et .
La conjecture est partiellement fausse.
- Les deux courbes ne se rencontrent pas sur , bien qu'on en aie l'impression sur le graphique.
- La deuxième solution positive ne peut pas être lue sur le graphique présenté, car les deux courbes se coupent une deuxième fois en un point dont l'ordonnée est approximativement
!
