Sujet et corrigé de l'exercice 3 du bac S de maths de juin 2013 dans les centres étrangers
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On considère la fonction
définie pour tout réel 
de l'intervalle 
par :
de l'intervalle , 
.
On note
la courbe représentative de la fonction dans un repère orthogonal, et 
le domaine plan compris d'une part entre l'axe
des abscisses et la courbe , d'autre part entre les droites d'équation 
et 
.
La courbe et le domaine sont représentés ci-dessous.
en deux domaines de même aire,
d'abord par une droite parallèle à l'axe des ordonnées (partie A), puis par une droite parallèle à l'axe des abscisses (partie B).
Partie A
Soit
un réel tel que 
.
On note 
l'aire du domaine compris entre la courbe , l'axe 
, les droites
d'équation et 
, puis 
celle du domaine compris entre la courbe , l'axe
et les droites d'équation et .
et sont exprimées en unité d'aire.
.
La fonction étant continue et positive sur , l'aire considérée s'exprime par l'intégrale :
b. Exprimer étant continue et positive sur , l'aire considérée s'exprime par l'intégrale :
en fonction de .
On a de même pour :
2. Soit :
la fonction définie pour tout réel de l'intervalle par :
sur l'intervalle . On précisera
les valeurs exactes de 
et 
.
La fonction est dérivable sur et on a :
Il est évident que pour tout 
, 
donc la fonction
considérée est strictement croissante et on a le tableau de variations :
b. Démontrer que la fonction est dérivable sur et on a :
Il est évident que pour tout , donc la fonction
considérée est strictement croissante et on a le tableau de variations :
s'annule une fois et une seule sur l'intervalle en un réel 
.
Donner la valeur de arrondie au centième.
La fonction est continue et strictement croissante sur , avec :
et d'après le théorème des valeurs intermédiaires
l'équation 
admet une unique solution dans l'intervalle (l'unicité
étant assurée par la stricte croissance de ).
En utilisant la calculette on trouve 
.
3. En utilisant les questions précédentes, déterminer une valeur approchée du réel est continue et strictement croissante sur , avec :
et d'après le théorème des valeurs intermédiaires
l'équation admet une unique solution dans l'intervalle (l'unicité
étant assurée par la stricte croissance de ).
En utilisant la calculette on trouve .
pour lequel les aires et sont égales.
En utilisant les résultats de la question 1 on a :
En utilisant la question 2. on en déduit qu'il existe une unique valeur de pour
laquelle 
dont une valeur approchée est 
.
En utilisant la question 2. on en déduit qu'il existe une unique valeur de pour
laquelle dont une valeur approchée est .
Partie B
Soit
un réel positif.
Dans cette partie, on se propose de partager le domaine en deux domaines de même aire par la droite d'équation 
.
On admet qu'il existe un unique réel positif solution.
1. Justifier l'inégalité 
. On pourra utiliser un argument graphique.
Un petit dessin :
On cherche tel que 
.
On peut facilement déterminer l'aire du domaine , en calculant, par exemple :
.
Donc 
et compte-tenu de la situation (voir graphique), il n'est pas
possible d'avoir si 
, donc 
soit .
2. Déterminer la valeur exacte du réel
tel que .
On peut facilement déterminer l'aire du domaine , en calculant, par exemple :
.
Donc et compte-tenu de la situation (voir graphique), il n'est pas
possible d'avoir si , donc soit .
.
Le domaine 
est un rectangle
dont un côté mesure 1 unité et dont l'aire doit être égale à la moitié de l'aire du domaine .
Donc doit valoir la moitié de l'aire de , ce qui donne :
.
est un rectangle
dont un côté mesure 1 unité et dont l'aire doit être égale à la moitié de l'aire du domaine .
Donc doit valoir la moitié de l'aire de , ce qui donne :
.
