Bac de maths

Sujet et corrigé de l'exercice de spécialité du bac S de maths de juin 2013 dans les centres étrangers

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 Une espèce d'oiseaux ne vit que sur deux îles A et B d'un archipel.
Au début de l'année 2013, 20 millions d'oiseaux de cette espèce sont présents sur l'île A et 10 millions sur l'île B.
Des observations sur plusieurs années ont permis aux ornithologues d'estimer que, compte tenu des naissances, décès, et migrations entre les deux îles, on retrouve au début de chaque année les proportions suivantes :

 

 

Pour tout entier naturel , on note (respectivement ) le nombre d'oiseaux (en millions) présents sur l'île A (respectivement B) au début de l'année .

Partie A - Algorithmique et conjectures

On donne ci-dessous un algorithme qui doit afficher le nombre d'oiseaux vivant le nombre d'oiseaux vivant sur chacune des deux îles, pour chaque année comprise entre 2013 et une année choisie par l'utilisateur.
1. Cet algorithme comporte des oublis dans le traitement. Repérer ces oublis et les corriger.
Le calcul des termes successifs de la suite est correctement assuré. On pourra noter l'emploi indispensable de la variable auxiliaire pour conserver intact pour le calcul de .
En revanche la variable n'est pas incrémentée à chaque étape, donc il faudra rajouter cette instruction (en l'état l'algorithme proposé génère une boucle infinie si l'utilisateur entre une valeur ).
Enfin, il manque les instructions d'affichage dans la boucle.

 

 

2. On donne ci-dessous une copie d'écran des résultats obtenus après avoir corrigé l'algorithme précédent dans un logiciel d'algorithmique, l'utilisateur avant choisi l'année 2020.
Au vu de ces résultats, émettre des conjectures concernant le sens de variation et la convergence des suites et .
La suite semble décroissante et converger vers 18.
La suite semble croissante et converger vers 12.

Partie B - Etude mathématique

On note la matrice colonne .
1. Montrer que, pour tout entier naturel , , où M est une matrice carrée d'ordre 2 que l'on déterminera.
On admet alors que pour tout entier naturel .
D'après l'énoncé on a les relations de récurrence :
Du coup, on cherche à compléter la matrice pour avoir l'égalité :
Pour réaliser cela il faut prendre
2. A l'aide d'un raisonnement par récurrence, justifier que, pour tout entier naturel :
On ne détaillera le calcul que pour le premier des coefficients de la matrice .
Initialisation au rang 1
En remplaçant par 1 dans l'expression donnée il vient :
Ce qui donne M, donc la propriété est vraie pour .
Hérédité
On suppose qu'à un rang on a :
A partir de cela on calcule :
Comme indiqué dans l'énoncé on ne calcule que le premier coefficient :
Donc l'hérédité est assurée pour ce premier coefficient, on admet qu'il en est de même pour les autres.
Ainsi notre propriété est vérifiée au rang 1, elle est héréditaire, donc elle est vraie pour tout entier .
3. Exprimer en fonction de , pour tout entier naturel .
Comme , pour avoir , on calcule le premier coefficient de :
ce qui donne :
4. Avec ce modèle, peut-on dire qu'au bout d'un grand nombre d'années, le nombre d'oiseaux sur l'île A va se stabiliser ? Si oui, préciser vers quelle valeur.
A l'aide de la formule explicite de trouvée à la question précédente on calcule sa limite :
car et du coup .
On peut dire qu'au fil du temps la population d'oiseaux sur l'île A va avoir tendance à se stabiliser vers 18 millions d'animaux.

 

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