Sujet et corrigé de l'exercice 3 du bac S de maths de juin 2014 dans les centres étrangers
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Les parties A et B sont indépendantes
Une image numérique en noir et blanc est composée de petits carrés (pixels) dont la couleur va du blanc au noir en passant par toutes les nuances de gris.
Chaque nuance est codée par un réel de la façon suivante :
pour le blanc ;
pour le noir;
; et ainsi de suite jusqu'à par pas de pour toutes les nuances intermédiaires (du clair au foncé).
L'image A, ci-après, est composée de quatre pixels et donne un échantillon de ces nuances avec leurs codes.
Un logiciel de retouche d'image utilise des fonctions numériques dites « fonctions de retouche ».
Une fonction définie sur l'intervalle est dite « fonction de retouche » si elle possède les quatre propriétés suivantes :
;
;
est continue sur l'intervalle ;
est croissante sur l'intervalle .
Une nuance codée est dite assombrie par la fonction si , et éclaircie, si .
Ainsi, si , un pixel de nuance codée prendra la nuance codée
.
L'image A sera transformée en l'image B ci-dessous.
Si , la nuance codée prendra la nuance codée .
L'image A sera transformée en l'image C ci-dessous.
Partie A
1. On considère la fonction définie sur l'intervalle par :
a. Démontrer que la fonction est une fonction de retouche.
On vérifie que possède les propriétés d'une fonction de retouche :
est une fonction polynôme donc elle est continue sur
Pour tout :
Du coup pour tout , , ce qui montre que est croissante.
b. Résoudre graphiquement l'inéquation , à l'aide du graphique donné ci-dessous, en faisant apparaître les pointillés utiles.
Interpréter ce résultat en termes d'éclaircissement ou d'assombrissement.
Donc sur , ou .
Cette fonction de retouche éclaircit les nuances dont le code est supérieur à 0,5 et assombrit les nuances dont le code est inférieur à 0,5.
2. On considère la fonction définie sur l'intervalle par :
On admet que est une fonction de retouche.
On définit sur l'intervalle la fonction par :
a. Etablir que, pour tout de l'intervalle :
Pour tout on a :
avec :
; , donc :
b. Déterminer les variations de la fonction sur l'intervalle .
Démontrer que la fonction admet un maximum en , maximum dont une valeur arrondie au centième est 0,12.
Il faut étudier sur le signe de .
On remarque déjà que ,
comme ,
et
Donc le signe de est le même que celui du numérateur de la fraction.
Celui-ci se présente sous la forme d'un binôme du premier degré qui s'annule pour .
De plus le coefficient facteur de est , donc on a le tableau de variations :
L'étude des variations ci-dessus montre que la fonction admet un maximum .
c. Etablir que l'équation admet sur l'intervalle deux solutions et , avec .
On admettra que : et que : .
On complète le tableau de variations précédent :
car puisque est une fonction de retouche ;
car est une fonction de retouche.
Ainsi sur , la fonction est continue et strictement croissante avec :
;
et donc , du coup d'après le théorème de la valeur intermédiaire, l'équation admet une unique solution dans .
En faisant un raisonnement analogue on montre que l'équation admet également une unique solution dans l'intervalle .
Partie B
On remarque qu'une modification de nuance n'est perceptible visuellement que si la valeur absolue de l'écart entre le code de la nuance initiale et le code de la nuance modifiée est supérieure ou égale à 0,05.
1. Dans l'algorithme décrit ci-dessous, désigne une fonction de retouche.
Quel est le rôle de cet algorithme ?
| Variables : | (nuance initiale) |
| (nuance retouchée) | |
| (écart) | |
| (compteur) | |
| Initialisation : | prend la valeur |
| Traitement : | Pour allant de 0 à 100, faire |
| prend la valeur | |
| prend la valeur | |
| prend la valeur | |
| Si , faire | |
| prend la valeur | |
| Fin si | |
| Fin pour | |
| Sortie : | Afficher |
Cet algorithme retourne le nombre de nuances pour lesquelles la fonction de retouche provoque un changement perceptible visuellement (parmi les 101 nuances possibles).
2. Quelle valeur affichera cet algorithme si on l'applique à la fonction définie dans la deuxième question de la partie A ?
Il s'agit d'étudier .
D'après l'étude faite dans la partie A, pour tout , , donc .
En outre, .
Comme et , la première nuance pour laquelle la modication opérée par est perceptible est la nuance codée 0,09.
La modification est ensuite perceptible pour toutes les nuances jusqu'à celle codée par 0,85 inclus.
Donc pour toutes les nuances codées entre 0,09 et 0,85 inclus la fonction provoque une modification perceptible.
Entre 0,09 et 0,85 il y valeurs de nuance, donc l'algorithme retourne 77.
Partie C
Dans cette partie, on s'intéresse à des fonctions de retouche dont l'effet est d'éclaircir l'image dans sa globalité, c'est-a-dire telles que, pour tout réel de l'intervalle , .
On décide de mesurer l'éclaircissement global de l'image en calculant l'aire de la portion de plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe représentative de la fonction , et les droites d'équations respectives et .
Entre deux fonctions, celle qui aura pour effet d'éclaircir le plus l'image sera celle correspondant à la plus petite aire.
On désire comparer l'effet des deux fonctions suivantes, dont on admet qu'elles sont des fonctions de retouche
1.a. Calculer .
étant une fonction de retouche elle est continue et positive sur et donc :
On écrit avec :
;
donc une primitive de est .
Du coup on a :
b. Calculer
Comme pour , on a :
On écrit :
Une primitive de est :
Et enfin :
2. De ces deux fonctions, laquelle a pour effet d'éclaircir le plus l'image ?
C'est donc qui éclaircit le plus l'image.
