Sujet et corrigé de l'exercice 4 du bac S de maths de juin 2014 dans les centres étrangers
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Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les points :
1. Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
On a :
soit
et :
soit
On remarque qu'il n'existe pas de réel tel que , donc et ne sont pas colinéaires, ce qui montre que les points A, B et C ne sont pas alignés.
2. Soit un vecteur de l'espace, où et désignent deux nombres réels.
a. Déterminer les valeurs de et telles que soit un vecteur normal au plan (ABC).
Les vecteurs et sont deux vecteurs directeurs (non colinéaires) de (ABC), donc est normal à (ABC) équivaut à :
Donc
b. En déduire qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est :
Comme est un vecteur normal de (ABC), une équation cartésienne de ce plan est de la forme :
Le plan passe par A donc les coordonnées de A vérifient l'équation :
.
Du coup une équation cartésienne de (ABC) est :
Le point D appartient-il au plan (ABC) ?
On a :
Donc le point D n'appartient pas au plan (ABC).
3. On considère la droite de l'espace dont une représentation paramétrique est :
a. La droite est-elle orthogonale au plan (ABC) ?
Par lecture sur le réprésentation paramétrique, un vecteur directeur de est .
On rappelle qu'un vecteur normal à (ABC) est
On remarque que , cela montre que et sont colinéaires et donc que la droite est orthogonale au plan (ABC).
b. Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite et du plan (ABC).
On résout le système :
Donc
4. Etudier la position de la droite (DE) par rapport au plan (ABC).
Un vecteur directeur de (DE) est :
soit
Si on « compare » au vecteur normal à (ABC) on remarque que :
Donc la droite (DE) est parallèle au plan (ABC).
Comme en outre on a vu que D n'appartient pas à (ABC), on conclut que (DE) est strictement parallèle à (ABC).
