Sujet et corrigé de l'exercice de spécialité du bac S de maths de juin 2014 dans les centres étrangers
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Partie A : préliminaires
1.a. Soient et deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2, tels que :
Montrer que : .
b. Déduire de la question précédente un entier tel que: .
On a et d'après la question a) cela entraîne que :
soit .
Donc on peut prendre .
On admettra que l'unique entier tel que : et vaut 21.
On donne les matrices :
.
a. Calculer la matrice .
b. En déduire que A est inversible et que sa matrice inverse, notée , peut s'écrire sous la forme , où et sont deux réels que l'on déterminera.
En partant de la relation de la question précédente :
Donc A est inversible et .
Vérifier que : .
En utilisant ce qui précéde on trouve :
et donc du coup :
d. Démontrer que si , alors .
Partie B : procédure de codage
Coder le mot « ET », en utilisant la procédure de codage décrite ci-dessous.
Le mot à coder est remplacé par la matrice , où est l'entier représentant la première lettre du mot et l'entier représentant la deuxième, selon le tableau de correspondance ci-dessous :
A B C D E F G H I J K L M 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 N O P Q R S T U V W X Y Z 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 La matrice est transformée en la matrice telle que : .
La matrice est transformée en la matrice , où est le reste de la division euclidienne de par 26 et le reste de la division euclidienne de par 26.
Les entiers et donnent les lettres du mot codé, selon le tableau de correspondance ci-dessus.
Exemple :
« OU » (mot à coder) « YE » (mot codé).
mot codé : « JY ».
Partie C : procédure de décodage (on conserve les mêmes notations que pour le codage)
Lors du codage, la matrice a été transformée en la matrice telle que : .
1. Démontrer que :
On a vu que si alors ce qui donne :
soit :
donc on a bien :
2. En utilisant la question 1. b. de la partie A, établir que modulo 26 :
On multiplie par 21 les égalités du système que l'on considère modulo 26 :
on a :
modulo 26 (question 1. b.)
modulo 26
modulo 26
modulo 26
modulo 26
du coup on obtient bien, modulo 26 :
3. Décoder le mot « QP ».
On a .
Donc, modulo 26, et .
On remplace dans le système de la question précédente :
ce qui donne :
Donc ce qui correspond au mot « TS ».
