Corrigé de l'exercice 4 du bac S de maths de mai 2012 au Liban
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On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct
.
1. Un triangle
a. On considère les points A, B et C d'affixes respectives 
, 
et 
.
Déterminer une mesure de l'angle 
.
On sait qu'un argument de 
est aussi une mesure de l'angle 
.
On a : 
Donc 
et l'angle est droit.
b. En déduire que l'affixe est aussi une mesure de l'angle .
On a :
Donc et l'angle est droit.
du centre 
du cercle circonscrit au triangle ABC est 
.
D'après la question précédente, le triangle ABC est rectangle en B, donc le centre de son cercle circonscrit se trouve au milieu de l'hypoténuse [AC] et on a :
.
de son cercle circonscrit se trouve au milieu de l'hypoténuse [AC] et on a :
.
2. Une transformation du plan On note
la suite de nombres complexes, de terme initiale 
, et telle que:
, on note A
le point d'affixe 
.
a. Montrer que les points A
, A
et A
ont pour affixes respectives:
A, A
B et A
C.
, 
et 
.
, on a:
désigne le nombre complexe défini à la question 1.b.
Pour tout entier naturel , on a :
, on a :
Dans le sujet original la question d. fait référence à la notion de rotation qui ne figure plus dans les programmes
à partir de la rentrée 2012.
e. En remarquant que 
, justifier que, pour tout entier naturel , on a: 
.
Déterminer l'affixe du point 
.
D'après ce qui précède on a la relation : 
et pour tout entier naturel :
Donc 
, c'est à dire que .
On effectue maintenant la division euclidienne de 2012 par 6 : 
.
Du coup on a : 
.
et pour tout entier naturel :
Donc , c'est à dire que .
On effectue maintenant la division euclidienne de 2012 par 6 : .
Du coup on a : .
