Sujet et corrigé de l'exercice 1 du bac S de maths de mai 2013 au Liban
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Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des propositions est correcte. Chaque réponse correcte rapporte un point. Une réponse erronée ou une absence de réponse n'ôte pas de point. On notera sur la copie le numéro de la question, suivi de la lettre correspondant à la proposition choisie. L'espace est rapporté à un repère orthonormé
.
Les points A, B, C et D ont pour coordonnées respectives :
A
, B
, C
et D(1 ; 2 ; 3).
On note 
la droite ayant pour représentation paramétrique :
la droite ayant pour représentation paramétrique :
le plan d'équation 
.
Question 1
Proposition a : Les droites et sont parallèles.
Proposition b : Les droites et sont coplanaires.
Proposition c : Le point C appartient à la droite .
Proposition d : Les droites et sont orthogonales.
Par lecture directe sur les représentations paramétriques :
et 
ne sont pas colinéaires ce qui élimine la réponse a.
Pendant qu'on travaille avec les vecteurs directeurs on peut "tenter" le produit scalaire pour savoir si les droites sont orthogonales :
Donc les vecteurs directeurs des droites et sont orthogonaux ce qui prouve que et sont orthogonales.
La bonne réponse est la réponse d.
- un vecteur directeur de est
- un vecteur directeur de est
et ne sont pas colinéaires ce qui élimine la réponse a.
Pendant qu'on travaille avec les vecteurs directeurs on peut "tenter" le produit scalaire pour savoir si les droites sont orthogonales :
Donc les vecteurs directeurs des droites et sont orthogonaux ce qui prouve que et sont orthogonales.
La bonne réponse est la réponse d.
Question 2
Proposition a : Le plan contient la droite et est parallèle à la droite .
Proposition b : Le plan contient la droite et est parallèle à la droite .
Proposition c : Le plan contient la droite et est orthogonal à la droite .
Proposition d : Le plan contient les droites et .
Par lecture directe sur l'équation cartésienne un vecteur normal au plan est 
.
On remarque immédiatement que 
, c'est à dire que 
est aussi un vecteur directeur de . Il
en résulte que la droite est orthogonale au plan ce qui élimine toutes les réponses sauf la c. (on n'a même pas besoin de vérifier que
est incluse dans ).
La bonne réponse est la réponse c.
est .
On remarque immédiatement que , c'est à dire que est aussi un vecteur directeur de . Il
en résulte que la droite est orthogonale au plan ce qui élimine toutes les réponses sauf la c. (on n'a même pas besoin de vérifier que
est incluse dans ).
La bonne réponse est la réponse c.
Question 3
Proposition a : Les points A, D et C sont alignés. Proposition b : Le triangle ABC est rectangle en A. Proposition c : Le triangle ABC est équilatéral. Proposition d : Le point D est le milieu du segment [AB].
On peut commencer par calculer les coordonnées des vecteurs 
et 
pour savoir si la réponse a. est bonne ou non :
Ces vecteurs ne sont pas colinéaires donc on peut éliminer la réponse a.
Pour savoir si b. et c. sont vraies on calcule les longueurs des côtés du triangle ABC :
AB
AC
BC
Donc AB
ACBC
, ce qui montre que ABC est équilatéral.
La bonne réponse est la réponse c.
et pour savoir si la réponse a. est bonne ou non :
Ces vecteurs ne sont pas colinéaires donc on peut éliminer la réponse a.
Pour savoir si b. et c. sont vraies on calcule les longueurs des côtés du triangle ABC :
AB
AC
BC
Donc ABACBC, ce qui montre que ABC est équilatéral.
La bonne réponse est la réponse c.
Question 4
On note
le plan contenant la droite et le point A. Un vecteur normal à ce plan est :
Proposition a : 
Proposition b : 
Proposition c : 
Proposition d : 
Un vecteur normal de doit être orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan. Comme est dans le plan, un vecteur de est
.
On peut déjà éliminer 
(
ne peut pas être orthogonal à lui-même).
On calcule maintenant les produits scalaires :
Donc 
est un bon candidat.
Donc 
est aussi un bon candidat.
Donc 
aussi !
On détermine les coordonnées d'un deuxième vecteur du plan. Pour cela on considère le point A'
de la droite (obtenu en remplaçant
par 0 dans la représentation paramétrique) et on calcule les coordonnées de 
.
On remarque au passage que ce vecteur n'est pas colinéaire à , on calcule de nouveau les produits scalaires :
Donc le seul vecteur orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan est le vecteur .
La bonne réponse est la réponse b.
doit être orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan. Comme est dans le plan, un vecteur de est
.
On peut déjà éliminer ( ne peut pas être orthogonal à lui-même).
On calcule maintenant les produits scalaires :
Donc est un bon candidat.
Donc est aussi un bon candidat.
Donc aussi !
On détermine les coordonnées d'un deuxième vecteur du plan. Pour cela on considère le point A' de la droite (obtenu en remplaçant
par 0 dans la représentation paramétrique) et on calcule les coordonnées de .
On remarque au passage que ce vecteur n'est pas colinéaire à , on calcule de nouveau les produits scalaires :
Donc le seul vecteur orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan est le vecteur .
La bonne réponse est la réponse b.
