Sujet et corrigé de l'exercice 2 du bac S de maths de mai 2013 au Liban
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L'entreprise Fructidoux fabrique des compotes qu'elle conditionne en petits pots de 50 grammes. Elle souhaite leur attribuer la dénomination « compote allégée ». La législation impose alors que la teneur en sucre, c'est-à-dire la proportion de sucre dans la compote, soit comprise entre 0,16 et 0,18. On dit dans ce cas que le petit pot de compote est conforme. L'entreprise possède deux chaînes de fabrication F
et F
.
Partie A
La chaîne de production F semble plus fiable que la chaîne de production F. Elle est cependant moins rapide.
Ainsi, dans la production totale, 70 % des petits pots proviennent de la chaîne F et 30 % de la chaîne F.
La chaîne F produit 5 % de compotes non conformes et la chaîne F en produit 1 %.
On prélève au hasard un petit pot dans la production totale. On considère les évènements :
E : « Le petit pot provient de la chaîne F »
C : « Le petit pot est conforme »
1. Construire un arbre pondéré sur lequel on indiquera les données qui précèdent.
. »
En utilisant la formule des probabilités composées (principe multiplicatif des probabilités sur les branches de l'arbre) on a :
.
.
3. Déterminer la probabilité de l'évènement C.
Les événements E et 
forment une partition de l'univers. Selon la formule des probabilités totales il vient :
4. Déterminer, à forment une partition de l'univers. Selon la formule des probabilités totales il vient :
près, la probabilité de l'évènement E sachant que l'évènement C est réalisé.
En utilisant la relation de définition d'une probabilité conditionnelle on a :
Partie B
1. On note
la variable aléatoire qui, à un petit pot pris au hasard dans la production de la chaîne F, associe sa teneur en sucre.
On suppose que suit la loi normale d'espérance 
et d'écart-type 
.
Dans la suite, on pourra utiliser le tableau ci-dessous.
près de la probabilité qu'un petit pot prélevé au hasard dans la production de la chaîne F soit conforme.
Il s'agit de déterminer 
.
Par lecture directe dans le tableau fourni on a directement la réponse : 
.
2. On note .
Par lecture directe dans le tableau fourni on a directement la réponse : .
la variable aléatoire qui, à un petit pot pris au hasard dans la production de la chaîne F, associe sa teneur en sucre.
On suppose que suit la loi normale d'espérance 
et d'écart-type 
.
On suppose de plus que la probabilité qu'un petit pot prélevé au hasard dans la production de la chaîne F soit conforme est égale à 
.
Soit 
la variable aléatoire définie par 
.
a. Quelle loi la variable aléatoire suit-elle ?
La variable aléatoire est la variable centrée réduite associée à , donc suit la loi normale standard c'est à dire la loi normale d'espérance 0 et d'écart-type 1.
b. Déterminer, en fonction de est la variable centrée réduite associée à , donc suit la loi normale standard c'est à dire la loi normale d'espérance 0 et d'écart-type 1.
l'intervalle auquel appartient lorsque appartient à l'intervalle 
.
On a : 
Donc 
.
c. En déduire une valeur approchée à
Donc .
près de .
On pourra utiliser le tableau donné ci-dessous, dans lequel la variable aléatoire suit la loi normale d'espérance 
et d'écart-type 
.
La probabilité qu'un pot soit conforme dans la production F
est de 0,99 donc :
.
En utilisant le tableau fourni on en déduit que :
.
est de 0,99 donc :
.
En utilisant le tableau fourni on en déduit que :
.
