Sujet et corrigé de l'exercice 3 du bac S de maths de mai 2013 au Liban
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Etant donné un nombre réel
, on considère la fonction 
définie sur 
par
.
Partie A
Dans cette partie on choisit
. On a donc, pour tout réel 
.
La représentation graphique 
de la fonction 
dans le repère est donnée ci-dessous :
en 
et en 
et interpréter graphiquement les résultats obtenus.
Limite en 
et par composition 
par valeurs positives.
En rajoutant 1 puis en inversant on obtient 
.
On en déduit que la courbe de 
admet en une asymptote horizontale d'équation 
.
Limite en 
et par composition 
.
Du coup, 
et par inversion 
par valeurs positives.
La courbe représentative de admet en une asymptote horizontale d'équation 
(axe des abscisses).
et par composition par valeurs positives.
En rajoutant 1 puis en inversant on obtient .
On en déduit que la courbe de admet en une asymptote horizontale d'équation .
Limite en
et par composition .
Du coup, et par inversion par valeurs positives.
La courbe représentative de admet en une asymptote horizontale d'équation (axe des abscisses).
2. Démontrer que, pour tout réel
.
Pour tout réel 
: 
3. On appelle :
la fonction dérivée de sur . Calculer, pour tout réel 
.
En déduire les variations de la fonction sur .
La fonction est dérivable sur et on peut écrire : 
avec :
et 
Donc on a : 
Pour tout 
; 
, de même 
, donc 
et la fonction est strictement croissante sur .
4. On définit le nombre est dérivable sur et on peut écrire : avec :
et
Donc on a :
Pour tout ; , de même , donc et la fonction est strictement croissante sur .
.
Montrer que 
. Donner une interprétation graphique de 
.
Pour calculer cette intégrale on commence par déterminer une primitive de . Il est plus facile de travailler avec l'expression 
où
l'on peut "voir" 
avec 
et 
pour tout .
Du coup une primitive sur de est définie par 
.
Maintenant on peut calculer :
La fonction étant positive sur 
, représente, en unités d'aire, l'aire du domaine délimité par l'axe des ordonnées
, la droite d'équation 
, l'axe des abscisses et la courbe représentative de .
. Il est plus facile de travailler avec l'expression où
l'on peut "voir" avec et pour tout .
Du coup une primitive sur de est définie par .
Maintenant on peut calculer :
La fonction étant positive sur , représente, en unités d'aire, l'aire du domaine délimité par l'axe des ordonnées
, la droite d'équation , l'axe des abscisses et la courbe représentative de .
Partie B
Dans cette partie, on choisit
et on souhaite tracer la courbe 
représentant la fonction 
.
Pour tout réel , on appelle P le point de d'abscisse et M le point de d'abscisse .
On note K le milieu du segment [MP].
1. Montrer que, pour tout réel 
.
Pour tout réel :
2. En déduire que le point K appartient à la droite d'équation :
.
On a les coordonnées suivantes : P
et M
.
Du coup les coordonnées du milieu K de [MP] sont :
K
soit K
.
Donc le point K appartient à la droite d'équation 
.
3. Tracer la courbe et M.
Du coup les coordonnées du milieu K de [MP] sont :
K soit K.
Donc le point K appartient à la droite d'équation .
sur le graphique.
On trace la droite d'équation . D'après ce qui précède les courbes 
et 
sont symétriques
par rapport à cette droite ce qui permet de construire .
4. En déduire l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par les courbes . D'après ce qui précède les courbes et sont symétriques
par rapport à cette droite ce qui permet de construire .
, l'axe des ordonnées et la droite d'équation 
.
On remarque déjà que : 
Comme 
et comme est strictement croissante, pour tout 
, 
et donc 
. Il en résulte que
sur , 
ce qui entraîne que est située au dessus de .
Ainsi l'aire considérée se calcule en effectuant :
Comme et comme est strictement croissante, pour tout , et donc . Il en résulte que
sur , ce qui entraîne que est située au dessus de .
Ainsi l'aire considérée se calcule en effectuant :
Partie C
Dans cette partie, on ne privilégie pas de valeur particulière du paramètre.
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.
1. Quelle que soit la valeur du nombre réel , la représentation graphique de la fonction est strictement comprise entre les droites d'équations 
et 
.
Pour tout et tout 
; 
et du coup 
, donc on a :
soit 
, ce qui prouve que la courbe de 
est strictement comprise entre les droites d'équations
et .
L'affirmation est VRAIE.
2. Quelle que soit la valeur du réel et tout ; et du coup , donc on a :
soit , ce qui prouve que la courbe de est strictement comprise entre les droites d'équations
et .
L'affirmation est VRAIE.
, la fonction est strictement croissante.
Pour tout et tout la fonction est dérivable et on a :
Ainsi la dérivée à le même signe que , donc la fonction est strictement décroissante pour 
; constante pour 
et strictement croissante pour 
.
L'affirmation est FAUSSE.
3. Pour tout réel et tout la fonction est dérivable et on a :
Ainsi la dérivée à le même signe que , donc la fonction est strictement décroissante pour ; constante pour et strictement croissante pour .
L'affirmation est FAUSSE.
.
Pour tout réel on a 
Considérons la fonction 
définie sur par 
.
On peut remarquer que 
, donc est croissante d'après la question précédente.
On calcule 
.
Comme est croissante, pour tout 
; 
, soit 
.
L'affirmation est VRAIE.
on a
Considérons la fonction définie sur par .
On peut remarquer que , donc est croissante d'après la question précédente.
On calcule .
Comme est croissante, pour tout ; , soit .
L'affirmation est VRAIE.
