Sujet et corrigé de l'exercice 1 du bac S de maths de mai 2014 au Liban
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Les probabilités seront arrondies au dix millième.
Un élève doit se rendre à son lycée chaque matin pour 8h00. Pour cela il utilise, selon les jours, deux moyens de transport : le vélo ou le bus.
Partie A
L'élève part tous les jours à 7h40 de son domicile et doit arriver à 8h00 à son lycée.
Il prend le vélo 7 jours sur 10 et le bus le reste du temps.
Les jours où il prend le vélo, il arrive à l'heure dans 99,4 % des cas et lorsqu'il prend le bus, il arrive en retard dans 5 % des cas.
On choisit une date au hasard en période scolaire et on note V l'événement : « l'élève se rend au lycée à vélo », B l'événement « l'élève se rend au lycée en bus » et R l'événement « l'élève arrive en retard au lycée ».
1. Traduire la situation par un arbre de probabilités.
2. Déterminer la probabilité de l'événement .
Probabilités composées :
3. Démontrer que la probabilité de l'événement R est 0,0192.
Les événements V et B forment une partition de l'univers.
D'après la formule des probabilités totales :
.
4. Un jour donné, l'élève est arrivé en retard au lycée.
Quelle est la probabilité qu'il s'y soit rendu en bus ?
Il s'agit de calculer :
Partie B : le vélo
On suppose dans cette partie que l'élève utilise le vélo pour se rendre à son lycée.
Lorsqu'il utilise le vélo, on modélise sont temps de parcours, exprimé en minutes, entre son domicile et son lycée par une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance et d'écart-type .
1. Déterminer la probabilité que l'élève mette entre 15 et 20 minutes pour se rendre à son lycée.
En utilisant la calculette :
2. Il part de son domicile à vélo à 7h40.
Quelle est la probabilité qu'il soit en retard au lycée ?
Il est en retard lorsque le temps de parcours est supérieur à 20 minutes donc on calcule :
3. L'élève par à vélo. Avant quelle heure doit-il partir pour arriver à l'heure au lycée avec un probabilité de 0,9 ?
Arrondir le résultat à la minute près.
On cherche tel que .
Avec la calculette on trouve .
La probabilité qu'il mette moins de 19 minutes pour se rendre au lycée est de 0,9. Donc pour arriver à l'heure il doit partir avant 7h41.
Partie C : le bus
Lorsque l'élève utilise le bus, on modélise son temps de parcours, exprimé en minutes, entre son domicile et son lycée par une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance et d'écart-type .
On sait que la probabilité qu'il mette plus de 20 minutes pour se rendre à son lycée en bus est de 0,05.
On note la variable aléatoire égale à
1. Quelle loi la variable aléatoire suit-elle ?
suit la loi normale centrée renduite c'est à dire de moyenne 0 et d'écart-type 1.
2. Déterminer une valeur approchée à 0,01 près de l'écart-type de la variable aléatoire .
On sait que :
et
Pour la loi normale centrée réduite il existe un unique tel que .
Pour obtenir avec la calculette on passe par :
, donc .
On trouve .
Du coup et .
