Sujet et corrigé de l'exercice 2 du bac S de maths de mai 2014 au Liban
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Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier chaque réponse.
Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.
On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé.
On considère le plan d'équation :
On considère la droite dont une représentation paramétrique est :
On donne les points :
Proposition 1
Une représentation paramétrique de la droite (AB) est
On regarde si A et B appartiennent à la droite dont on donne la représentation paramétrique.
Point A :
donc A appartient à la droite.
Point B :
donc B appartient à la droite.
Du coup la représentation paramétrique est bien une représentation paramétrique de (AB).
L'affirmation est VRAIE.
Proposition 2
Les droites et (AB) sont orthogonales.
On lit sur les représentations paramétriques des vecteurs directeurs des droites :
Pour :
Pour (AB) :
On calcule :
Donc les vecteurs directeurs sont orthogonaux ce qui montre que et (AB) sont orthogonales.
L'affirmation est VRAIE.
Proposition 3
Les droites et (AB) sont coplanaires.
On cherche le point d'intersection éventuel de et (AB) en résolvant :
Ainsi le système n'a pas de solution, donc les droites ne sont pas coplanaires (puisqu'elles sont orthogonales non sécantes).
L'affirmation est FAUSSE.
Proposition 4
La droite coupe le plan au point E de coordonnées .
On regarde si E appartient à la fois au plan et à la droite.
Au plan :
Donc .
A la droie : On cherche tel que :
Donc .
L'affirmation est FAUSSE.
Proposition 5
Les plans et (ABC) sont parallèles.
On a : soit
, soit
Les vecteurs et sont deux vecteurs directeurs (non colinéaires) du plan (ABC).
Un vecteur normal de est (lecture directe sur l'équation cartésienne).
On remarque que :
Donc est orthogonal à et ce qui montre que le plan est parallèle à (ABC).
L'affirmation est VRAIE.
