Sujet et corrigé de l'exercice de spécialité du bac S de maths de mai 2014 au Liban
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Un laboratoire étudie la propagation d’une maladie sur une population.
Un individu sain est un individu n’ayant jamais été touché par la maladie.
Un individu malade est un individu qui a été touché par la maladie et non guéri.
Un individu guéri est un individu qui a été touché par la maladie et qui a guéri.
Une fois guéri, un individu est immunisé et ne peut plus tomber malade.
Les premières observations nous montrent que, d’un jour au jour suivant :
5 % des individus tombent malades,
20 % des individus guérissent.
Pour tout entier naturel , on note la proportion d'individus sains jours après le début de l'expérience, la proportion d'individus malades jours après le début de l'expérience, et celle d'individus guéris jours après le début de l'expérience.
On suppose qu'au début de l'expérience, tous les individus sont sains, c'est à dire que , et .
1. Calculer , et .
Compte tenu des informations de l'énoncé après 1 jour :
95 % des personnes restent saines, donc ,
5 % tombent malade, donc ,
il n'y aucune guérison (puisqu'il n'y avait pas de malade au départ), donc .
2.a. Quelle est la proportion d'individus sains qui restent sains d'un jour au jour suivant ?
En déduire en fonction de .
Il reste 95 % d'individus sains qui restent sains d'un jour à l'autre donc :
b. Exprimer en fonction de et .
On admet que .
Pour tout entier naturel , on définit
On définit les matrices et
On admet qu'il existe une matrice inversible P telle que et que, pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1, .
3.a. Vérfier que, pour tout entier naturel , .
On admet que, pour tout entier naturel , .
b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel :
Soit à montrer la propriété :
Initialisation au rang 0
et
Donc la propriété est vraie au rang 0.
Hérédité
Supposons qu'à un rang on ait :
Alors sous cette hypothèse :
Donc la propriété est vraie au rang , ce qui prouve l'hérédité.
Finalement la propriété est vraie au rang 0 et elle est héréditaire, donc elle est vraie pour tout entier naturel .
On admet que :
4.a. Vérifier que pour tout entier naturel , .
donc :
Donc en particulier .
b. Déterminer la limite de la suite .
Comme et on a :
.
Et on a aussi
c. On admet que la proportion d'individus malades croît pendant plusieurs jours, puis décroit.
On souhaite déterminer le pic épidémique, c'est à dire le moment où la proportion d'individus malades est à son maximum.
A cet effet, on utilise l'algorithme ci-dessous, dans lequel on compare les termes successifs de la suite .
Compléter l'algorithme de façon qu'il affiche le rang du jour où le pic épidémique est atteint et compléter le tableau fourni.
Conclure.
Algorithme à compléter
| Variables : | , , et sont des réels |
| est un entier naturel | |
| Initialisation : | Affecter à la valeur 0 |
| Affecter à la valeur 0,05 | |
| Affecter à la valeur 0 | |
| Affecter à la valeur 0,95 | |
| Affecter à la valeur 0,8 | |
| Traitement : | Tant que faire |
| Affecter à la valeur | |
| Affecter à la valeur | |
| Affecter à la valeur | |
| Affecter à la valeur | |
| Affecter à la valeur ...... | |
| Fin Tant que | |
| Sortie : | Afficher ...... |
Tableau à compléter
| Test : ? | ||||||
| Après le 7 passage dans la boucle Tant que | 7 | 0,1628 | 0,6634 | 0,1678 | 0,1652 | VRAI |
| Après le 8 passage éventuel dans la boucle Tant que | ||||||
| Après le 9 passage éventuel dans la boucle Tant que |
| Variables : | , , et sont des réels |
| est un entier naturel | |
| Initialisation : | Affecter à la valeur 0 |
| Affecter à la valeur 0,05 | |
| Affecter à la valeur 0 | |
| Affecter à la valeur 0,95 | |
| Affecter à la valeur 0,8 | |
| Traitement : | Tant que faire |
| Affecter à la valeur | |
| Affecter à la valeur | |
| Affecter à la valeur | |
| Affecter à la valeur | |
| Affecter à la valeur | |
| Fin Tant que | |
| Sortie : | Afficher |
| Test : ? | ||||||
| Après le 7 passage dans la boucle Tant que | 7 | 0,1628 | 0,6634 | 0,1678 | 0,1652 | VRAI |
| Après le 8 passage éventuel dans la boucle Tant que | 8 | 0,1652 | 0,6302 | 0,1342 | 0,1653 | VRAI |
| Après le 9 passage éventuel dans la boucle Tant que | 9 | 0,1653 | 0,5987 | 0,1074 | 0,1637 | FAUX |
Grâce au tableau précédent on conclut que le pic épidémique est atteint le 9 jour.
