Corrigé de l'exercice 3 du bac S de maths de juin 2012 en métropole
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Partie A
On désigne par
la fonction définie sur l'intervalle 
par
1. Déterminer la limite de la fonction
en 
.
-
et par inverse 
.
-
(termes de plus haut degré)
et par composée 
.
.
2. Démontrer que pour tout réel
de l'intervalle , 
.
Dresser le tableau de variation de la fonction .
La fonction est dérivable sur 
et on a :
avec :
(formule du quotient)
Donc 
Pour tout 
, 
et 
donc 
et on a le tableau de variations :
.
3. En déduire le signe de la fonction est dérivable sur et on a :
avec :
(formule du quotient)
Donc
Pour tout , et donc et on a le tableau de variations :
.
sur l'intervalle .
D'après l'étude précédente on a 
pour tout .
pour tout .
Partie B
Soit
la suite définie pour tout entier strictement positif par
.
La boucle est executée 3 fois.
Itération 1 : 
Itération 2 : 
Itération 3 : 
Donc la valeur exacte affichée est 
.
2. Recopier et compléter l'algorithme précédent afin qu'il affiche la valeur de
Itération 2 :
Itération 3 :
Donc la valeur exacte affichée est .
lorsque l'utilisateur entre la valeur de 
.
.
A l'aide de ce tableau, formuler des conjectures sur le sens de variation de la suite et son éventuelle convergence.
La suite semble décroissante et converger vers une valeur proche de 0,577.
Partie C
Cette partie permet de démontrer les conjectures formulées à propos de la suite telle que pour tout entier strictement positif ,
,
est la fonction définie dans la partie A.
En déduire le sens de variation de la suite .
Pour tout entier 
on a :
or pour tout 
, on a vu que , donc pour tout entier 
, 
, ce qui prouve que la suite 
est strictement décroissante.
2.a. Soit on a :
or pour tout , on a vu que , donc pour tout entier , , ce qui prouve que la suite est strictement décroissante.
un entier strictement positif.
Justifier l'inégalité 
.
En déduire que 
.
Démontrer l'inégalité 
(1).
Soit 
, pour tout 
on a :
Du coup en intégrant cette fonction positive (avec la borne basse inférieure à la borne haute) on obtient 
.
Par linéarité de l'intégrale en partant de l'inégalité qu'on vient de prouver on a :
soit 
avec : 
et donc on a bien : 
.
Pour terminer, 
donc à partir de l'inégalité , on obtient 
.
b. Ecrire l'inégalité (1) en remplaçant successivement , pour tout on a :
Du coup en intégrant cette fonction positive (avec la borne basse inférieure à la borne haute) on obtient .
Par linéarité de l'intégrale en partant de l'inégalité qu'on vient de prouver on a :
soit
avec :
et donc on a bien : .
Pour terminer,
donc à partir de l'inégalité , on obtient .
par 1, 2, 
, et démontrer que pour tout entier strictement positif ,
Pour tout entier , on a les inégalités :
en ajoutant membre à membre ces inégalités on obtient :
.
c. En déduire que pour tout entier strictement positif , on a les inégalités :
en ajoutant membre à membre ces inégalités on obtient :
.
.
On remarque que 
, donc en exploitant l'inégalité vue à la question précédente on a pour tout entier :
or pour tout entier , 
et 
, donc on a aussi 
.
3. Prouver que la suite , donc en exploitant l'inégalité vue à la question précédente on a pour tout entier :
or pour tout entier , et , donc on a aussi .
est convergente. On ne demande pas de calculer sa limite.
La suite est décroissante et minorée par 0, donc elle est convergente.
est décroissante et minorée par 0, donc elle est convergente.
