Sujet et corrigé de l'exercice 4 du bac S de maths de juin 2013 en métropole
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Soit la suite numérique
définie sur 
par :
et pour tout entier naturel 
,
1.a. Calculer
, 
, 
et 
.
On pourra en donner des valeurs approchées à 
près.
Il semble que la suite soit croissante.
2.a. Démontrer que pour tout entier naturel
,
On démontre par récurrence la propriété :
et 
donc 
est vraie.
Hérédité
On suppose qu'à un rang 
, 
est vraie, soit 
.
On part de cette hypothèse :
Donc 
est vraie, ce qui montre l'hérédité.
Ainsi la propriété en question est initialisée au rang 0 et elle est héréditaire donc
elle est vraie pour tout entier naturel.
b. Démontrer que pour tout entier naturel et donc est vraie.
Hérédité
On suppose qu'à un rang , est vraie, soit .
On part de cette hypothèse :
Donc est vraie, ce qui montre l'hérédité.
Ainsi la propriété en question est initialisée au rang 0 et elle est héréditaire donc
elle est vraie pour tout entier naturel.
,
Pour tout entier naturel , on a :
c. En déduire une validation de la conjecture précédente.
, on a :
D'après la question a., 
.
Du coup 
ce qui montre que la suite est croissante.
3. On désigne par .
Du coup ce qui montre que la suite est croissante.
la suite définie sur par 
.
a. Démontrer que la suite est une suite géométrique de raison 
.
Pour tout entier naturel on a :
Cela prouve que la suite 
est une suite géométrique de raison .
b. En déduire que pour tout entier naturel on a :
Cela prouve que la suite est une suite géométrique de raison .
,
On a 
et donc 
.
De plus : 
, en remplaçant 
par sa formule
explicite il vient :
c. Déterminer la limite de la suite et donc .
De plus : , en remplaçant par sa formule
explicite il vient :
.
On a 
, donc 
.
Par somme, 
.
4. Pour tout entier naturel non nul , donc .
Par somme, .
, on pose:
en fonction de .
.
-
car 
puisque .
-
- Pour
, 
et
.
