Sujet et corrigé de l'exercice de spécialité du bac S de maths de juin 2013 en métropole
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On étudie la population d'une région imaginaire. Le 1
janvier 2013, cette région comptait 250 000 habitants dont 70 % résidaient à la campagne et 30 % en ville.
L'examen des données statistiques recueillies au cours de plusieurs années amène à choisir de modéliser l'évolution de la population pour les années à venir de la façon suivante :
- l'effectif de la population est globalement constant,
- chaque année, 5 % de ceux qui résident en ville décident d'aller s'installer à la campagne et 1 % de ceux qui résident à la campagne choisissent d'aller habiter en ville.
, on note 
le nombre d'habitants de cette région qui résident en ville au 1 janvier de l'année 
et
le nombre de ceux qui habitent à la campagne à la même date.
1. Pour tout entier naturel
, exprimer 
et 
en fonction de et .
D'après les éléments de l'énoncé on a :
2. Soit la matrice
.
On pose 
où 
, 
sont deux réels fixés et 
.
Déterminer, en fonction de et , les réels 
et 
tels que 
.
On calcule le produit :
Donc 
et 
Les résultats précédents permettent d'écrire que pour tout entier naturel
Donc et
, 
où 
.
On peut donc en déduire que pour tout entier naturel , 
.
3. Soient les matrices
et 
.
a. Calculer 
et 
. En déduire la matrice 
en fonction de Q.
On a :
.
Du coup 
.
b. Vérifier que la matrice .
Du coup .
est une matrice diagonale D que l'on précisera.
On calcule déja :
puis :
c. Démontrer que pour tout entier naturel
puis :
supérieur ou égal à 
, 
.
La propriété à montrer par récurrence pour tout entier 
est :
: « 
».
Initialisation au rang 1
On sait que 
donc :
en mutipliant à gauche par 
, puis :
en multipliant à droite par
donc 
est vraie.
Hérédité
On suppose que 
est vraie avec 
c'est à dire qu'on a l'hypothèse de récurrence :
est également vraie.
Donc est vraie.
Ainsi la propriété est vraie au rang 1 et est héréditaire donc elle est vraie pour tout entier naturel 
.
4. Les résultats des questions précédentes permettent d'établir que
est :
: « ».
Initialisation au rang 1
On sait que donc :
en mutipliant à gauche par , puis :
en multipliant à droite par
donc est vraie.
Hérédité
On suppose que est vraie avec c'est à dire qu'on a l'hypothèse de récurrence :
est également vraie.
Donc est vraie.
Ainsi la propriété est vraie au rang 1 et est héréditaire donc elle est vraie pour tout entier naturel .
On détermine la limite de 
en 
:
Comme 
, 
.
Du coup 
et :
.
Cela signifie qu'à long terme 
de la population va résider en ville et 
sera à la
campagne.
en :
Comme , .
Du coup et :
.
Cela signifie qu'à long terme de la population va résider en ville et sera à la
campagne.
