Corrigé de l'exercice 2 du bac S de maths en Nouvelle Calédonie de mars 2012
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On dispose de deux urnes et d'un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. L'urne
contient trois boules rouges et une boule noire.
L'urne 
contient trois boules rouges et deux boules noires.
Une partie se déroule de la façon suivante : le joueur lance le dé ; si le résultat est 1, il tire au hasard une boule dans l'urne , sinon il tire au hasard une boule dans l'urne .
On considère les évènements suivants :
: « obtenir 1 en lançant le dé »
: « obtenir une boule noire ».
1.a. Construire un arbre pondéré traduisant cettte expérience aléatoire.
.
Les événements 
et 
constituent un système complet d'événements, donc d'après la formule des probabilités totales :
et constituent un système complet d'événements, donc d'après la formule des probabilités totales :
c. Sachant que l'on a tiré une boule noire, calculer la probabilité d'avoir obtenu 1 en lançant le dé.
On calcule 
en utilisant la formule qui définit la probabilité conditionnelle :
2. On convient qu'une partie est gagnée lorsque la ·boule obtenue est noire. Une personne joue dix parties indépendantes en remettant, après chaque partie, la boule obtenue dans l'ume d'où elle provient. On note X la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées.
a. Calculer la probabilité de gagner exactement trois parties. On donnera le résultat arrondi au millième.
en utilisant la formule qui définit la probabilité conditionnelle :
On considère l'expérience de Bernoulli dont l'événement succès est :
« obtenir une boule noire ».
La probabilité de ce succès est d'après ce qui précède et comme on répète 10 fois de façon indépendante cette expérience, la variable aléatoire X qui compte le nombre
de succès suit une loi binomiale 
.
Donc 
.
b. Calculer la probabilité de gagner au moins une partie. On donnera le résultat arrondi au millième.
d'après ce qui précède et comme on répète 10 fois de façon indépendante cette expérience, la variable aléatoire X qui compte le nombre
de succès suit une loi binomiale .
Donc .
L'événement contraire de « gagner au moins une partie » est « gagner 0 partie ».
La probabilité de cet événement est :
Donc la probabilité recherchée vaut : 
.
c. On donne le tableau suivant:
Donc la probabilité recherchée vaut : .
un entier compris entre 1 et 10. On considère l'évènement : « la personne gagne au moins parties ».
A partir de quelle valeur de la probabilité de cet évènement est-elle inférieure à 
?
On cherche tel que 
soit en utilisant l'événement contraire :
Par lecture du tableau cela se réalise pour 
.
tel que soit en utilisant l'événement contraire :
Par lecture du tableau cela se réalise pour .
