Corrigé de l'exercice 4 de maths du bac S de mars 2012 en Nouvelle Calédonie
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Soit
la fonction définie sur 
par 
.
On désigne par 
la courbe représentative de dans le plan muni d'un repère orthogonal 
.
Soit 
un nombre réel appartenant à l'intervalle .
Sur la courbe , tracée ci-dessous, on a placé les points A et B d'abscisses respectives et 
. On a tracé les segments [OA] et [AB]. On a hachuré la partie du plan délimitée par les segments [OA] et [AB] et la courbe . On a placé les points A
et B
.
Le but de l'exercice est de déterminer la valeur du nombre réel pour laquelle l'aire de la partie du plan hachurée est minimale.
PARTIE A
1. On admet que
.
Dans le sujet original il faut calculer cette intégrale ce qui nécessite l'utilisation d'une intégration par parties.
Cette méthode d'intégration n'est plus au programmme à partir de l'année scolaire 2012-2013.
2.a. Donner l'aire du triangle OAA
et montrer que l'aire du trapèze ABBA est égale à 
.
On a A'A
et OA'
donc l'aire de OAA' vaut :
.
Pour l'aire du trapèze on a les bases qui mesurent :
AA'
et BB'
.
La hauteur mesure : OB'
OA'
, d'où l'aire du trapèze :
.
b. En déduire que l'aire de la partie du plan hachurée est égale à et OA' donc l'aire de OAA' vaut :
.
Pour l'aire du trapèze on a les bases qui mesurent :
AA' et BB'.
La hauteur mesure : OB'OA', d'où l'aire du trapèze :
.
.
L'aire du quadrilatère OABB' est la somme des aires du triangle OAA' et du trapèze ABB'A' soit :
.
L'aire de la zone hachurée s'obtient en soustrayant à l'aire du quadrilatère OABB', l'aire de la zone délimitée par , l'axe des abscisses et les droites d'équations 
et 
.
On remarque que pour tout 
, 
et donc que l'aire de la « zone sous la courbe » est égale à 
.
L'aire de la partie du plan hachurée vaut donc :
.
.
L'aire de la zone hachurée s'obtient en soustrayant à l'aire du quadrilatère OABB', l'aire de la zone délimitée par , l'axe des abscisses et les droites d'équations et .
On remarque que pour tout , et donc que l'aire de la « zone sous la courbe » est égale à .
L'aire de la partie du plan hachurée vaut donc :
.
PARTIE B
Soit
la fonction définie sur 
par
la fonction dérivée de la fonction . Calculer 
pour tout réel 
de 
.
Vérifier que la fonction dérivée seconde 
est d\'efinie sur par 
.
La fonction est dérivable sur 
et en utilisant la formule de la dérivée du produit on a :
On dérive une seconde fois :
2. En déduire les variations de la fonction est dérivable sur et en utilisant la formule de la dérivée du produit on a :
On dérive une seconde fois :
sur 
.
Pour tout 
, 
et donc 
, donc 
est croissante on a alors le tableau de variations :
.
Limite en 
de
et par produit 
.
Finalement, par somme, 
.
3. Etablir que l'équation , et donc , donc est croissante on a alors le tableau de variations :
.
Limite en de
et par produit .
Finalement, par somme, .
admet une solution unique 
dans l'intervalle .
Déterminer une valeur approchée de à 
près.
La fonction est définie, continue et strictement croissante sur avec :
tel que 
.
Avec la calculette on trouve 
.
4. En déduire les variations de la fonction est définie, continue et strictement croissante sur avec :
-
(négatif),
-
tel que .
Avec la calculette on trouve .
sur .
D'après ce qui précède on peut dresser le tableau de variations de :
5. En utilisant les réponses aux questions des parties A et B, montrer qu'il existe une valeur de :
pour laquelle l'aire de la partie du plan hachurée est minimale. Donner cette valeur de .
Pour tout 
l'aire de la zone hachurée vaut :
Or d'après l'étude précédente la fonction admet un minimum sur atteint en , donc l'aire de la partie hachurée est minimum pour 
.
l'aire de la zone hachurée vaut :
Or d'après l'étude précédente la fonction admet un minimum sur atteint en , donc l'aire de la partie hachurée est minimum pour .
