Corrigé de l'exercice 1 du bac S de maths de juin 2012 en Polynésie
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Le plan est rapporté à un repère orthonormal
.
On considère les points B
et C
et la droite (D) d'équation 
.
On note 
la fonction définie sur 
dont la courbe représentative, notée 
, est donnée ci-dessous :
et 
tels que :
- pour tout
réel, 
- les points B et C appartiennent à la courbe .
1.a. Montrer que le couple
est solution du système :
La courbe de la fonction passe par le point B, donc 
, ce qui donne :
De même la courbe passe par C, donc 
, donc on a :
Donc le couple est bien solution du système proposé.
passe par le point B, donc , ce qui donne :
De même la courbe passe par C, donc , donc on a :
Donc le couple est bien solution du système proposé.
b. En déduire que pour tout
réel, 
.
On résout le système précédent pour déterminer et .
Donc on a bien 
.
2. Déterminer la limite de et .
Donc on a bien .
en 
.
et par composée 
.
Pour finir, par produit : 
.
réel 
.
Pour tout réel , on a :
b. En déduire la limite de , on a :
en 
.
On utilise l'expression précédente de 
et on pose 
.
, donc on a :
(par croissances comparées).
Finalement en multipliant par 
, 
.
4. Etudier les variations de la fonction et on pose .
, donc on a :
(par croissances comparées).
Finalement en multipliant par , .
. On donnera le tableau de variations complet.
La fonction est dérivable sur .
avec :
En utilisant la formule de dérivation d'un produit on obtient :
Pour tout 
, le signe de la dérivée est le même que celui de 
.
Ce binôme du premier degré s'annule pour 
et on a le tableau de variations :
Détail du calcul de 
.
5. Etudier la position relative de la courbe est dérivable sur .
avec :
En utilisant la formule de dérivation d'un produit on obtient :
Pour tout , le signe de la dérivée est le même que celui de .
Ce binôme du premier degré s'annule pour et on a le tableau de variations :
.
et de la droite (D).
Pour faire cette étude on regarde le signe de 
.
Etudions le signe de 
, en résolvant, par exemple, 
.
On a de même 
et 
.
Du coup on a le tableau de signes :
On en déduit que :
6.a. On admet que .
Etudions le signe de , en résolvant, par exemple, .
On a de même et .
Du coup on a le tableau de signes :
- pour
, la courbe est au dessus de (D),
- pour
, la courbe est en dessous de (D),
- pour
, la courbe est au dessus de (D),
- pour
et pour 
, les courbes et (D) se coupent.
.
Dans le sujet original, les élèves doivent calculer cette intégrale en utilisant une intégration par parties.
Cette méthode d'intégration n'est plus au programme à compter de la rentrée 2012.
b. On désigne par A l'aire, en unités d'aire, du domaine du plan délimité par les droites d'équations et , la droite (D) et la courbe .
Calculer A.
On a vu que sur 
, la courbe est située en dessous de (D), donc l'aire du domaine en unités d'aire vaut :
, la courbe est située en dessous de (D), donc l'aire du domaine en unités d'aire vaut :
