Bac de maths

Corrigé de l'exercice 3 du bac S de maths de juin 2012 en Polynésie

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Partie A

On considère l'algorithme suivant :
Les variables sont le réel U et les entiers k et N.
Entrée
Saisir le nombre entier naturel non nul N
Traitement
Affecter à U la valeur 0
Pour k allant de 0 à N-1
Affecter à U la valeur 3U-2k+3
Fin pour
Sortie
Afficher U
Quel est l'affichage en sortie lorsque N=3 ?

 

 

Pour N=3, la boucle est executée 3 fois (k prend successivement les valeurs 0, 1 et 2).
  • Itération 1 : U
  • Itération 2 : U
  • Itération 3 : U
Donc l'affichage en sortie est 29.

Partie B

On considère la suite définie par et, pour tout entier naturel , .
1. Calculer et .

 

 

2.a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel , .
La propriété à montrer pour tout entier naturel est : " ".
Initialisation
et on a , donc est vraie.
Hérédité
On suppose que la propriété est vraie à un rang , c'est à dire que : .
On cherche à montrer, qu'alors, est vraie.
On part de l'hypothèse de récurrence :
Donc est vraie.
Ainsi la propriété est initialisée au rang 0 et elle héréditaire, donc selon le principe de récurrence elle est vraie pour tout entier naturel .
b. En déduire la limite de la suite .
On a et pour tout entier naturel , ,
donc par comparaison .
3. Démontrer que la suite est croissante.
Pour tout entier naturel , on a :
Comme pour tout entier naturel on a vu que il vient :
, puis et enfin .
Donc ce qui prouve que la suite est croissante.
4. Soit la suite définie, pour tout entier naturel , par .
a. Démontrer que la suite est une suite géométrique.
Pour tout entier naturel , on a :
Donc la suite est une suite géométrique de raison 3 et de premier terme .
b. En déduire, que pour tout entier naturel , .
En utilisant la question précédente on a :
avec (formule explicite de la suite géométrique).
D'où .
5. Soit un entier naturel non nul.
a. Pourquoi peut-on affirmer qu'il existe au moins un entier tel que, pour tout , ?
La suite diverge vers donc par définition de la limite étant donné un réel M quelconque, tous les termes de la suite sont supérieurs à M à partir d'un certain rang. En prenant M on peut exprimer cela par l'existence d'au moins un entier tel que pour tout , .
On s'intéresse maintenant au plus petit entier .
b. Justifier que .
Pour tout entier :
Comme , et du coup on a .
Comme est croissante pour tout entier , on a , donc le plus petit entier qui permette de réaliser la condition sera tel que .
c. Déterminer à l'aide de la calculatrice cet entier pour la valeur .
On a et , donc pour , .
d. Proposer un algorithme qui, pour une valeur de donnée en entrée, affiche en sortie la valeur du plus petit entier tel que, pour tout , on ait .
Variables
U est un réel
p est un entier
n est un entier
Initialisation
U:= 0
n:= 0
Entrée
Saisir p (entier strictement positif)
Traitement
Tant que U< faire
n:= n+1
U:= 3+n-1
Fin tant que
Sortie
Afficher n.

 

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