Corrigé de l'exercice 3 du bac S de maths de juin 2012 en Polynésie
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Partie A
On considère l'algorithme suivant : Les variables sont le réel U et les entiers k et N. Entrée Saisir le nombre entier naturel non nul N Traitement Affecter à U la valeur 0 Pour k allant de 0 à N-1 Affecter à U la valeur 3U-2k+3 Fin pour Sortie Afficher U Quel est l'affichage en sortie lorsque N=3 ?
Pour N=3, la boucle est executée 3 fois (k prend successivement les valeurs 0, 1 et 2).
- Itération 1 : U
- Itération 2 : U
- Itération 3 : U
Partie B
On considère la suite
définie par 
et, pour tout entier naturel 
, 
.
1. Calculer 
et 
.
2.a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel
, 
.
La propriété à montrer pour tout entier naturel est 
: " ".
Initialisation
et on a 
, donc 
est vraie.
Hérédité
On suppose que la propriété est vraie à un rang 
, c'est à dire que : 
.
On cherche à montrer, qu'alors, 
est vraie.
On part de l'hypothèse de récurrence :
Donc est vraie.
Ainsi la propriété est initialisée au rang 0 et elle héréditaire, donc selon le principe de récurrence elle est vraie pour tout entier naturel .
b. En déduire la limite de la suite est : " ".
Initialisation
et on a , donc est vraie.
Hérédité
On suppose que la propriété est vraie à un rang , c'est à dire que : .
On cherche à montrer, qu'alors, est vraie.
On part de l'hypothèse de récurrence :
Donc est vraie.
Ainsi la propriété est initialisée au rang 0 et elle héréditaire, donc selon le principe de récurrence elle est vraie pour tout entier naturel .
.
On a 
et pour tout entier naturel , ,
donc par comparaison 
.
3. Démontrer que la suite et pour tout entier naturel , ,
donc par comparaison .
est croissante.
Pour tout entier naturel , on a :
Comme pour tout entier naturel on a vu que il vient :
, puis 
et enfin 
.
Donc 
ce qui prouve que la suite est croissante.
4. Soit la suite , on a :
Comme pour tout entier naturel on a vu que il vient :
, puis et enfin .
Donc ce qui prouve que la suite est croissante.
définie, pour tout entier naturel , par 
.
a. Démontrer que la suite est une suite géométrique.
Pour tout entier naturel , on a :
Donc la suite est une suite géométrique de raison 3 et de premier terme 
.
b. En déduire, que pour tout entier naturel , on a :
Donc la suite est une suite géométrique de raison 3 et de premier terme .
, 
.
En utilisant la question précédente on a :
avec 
(formule explicite de la suite géométrique).
D'où .
5. Soit avec (formule explicite de la suite géométrique).
D'où .
un entier naturel non nul.
a. Pourquoi peut-on affirmer qu'il existe au moins un entier 
tel que, pour tout 
, 
?
La suite diverge vers 
donc par définition de la limite étant donné un réel M quelconque, tous les termes de la suite sont
supérieurs à M à partir d'un certain rang. En prenant M
on peut exprimer cela par l'existence d'au moins un entier tel que pour tout , .
On s'intéresse maintenant au plus petit entier diverge vers donc par définition de la limite étant donné un réel M quelconque, tous les termes de la suite sont
supérieurs à M à partir d'un certain rang. En prenant M on peut exprimer cela par l'existence d'au moins un entier tel que pour tout , .
.
b. Justifier que 
.
Pour tout entier 
:
Comme , 
et du coup on a 
.
Comme est croissante pour tout entier 
, on a 
, donc le plus petit entier qui permette de réaliser la condition sera tel que .
c. Déterminer à l'aide de la calculatrice cet entier :
Comme , et du coup on a .
Comme est croissante pour tout entier , on a , donc le plus petit entier qui permette de réaliser la condition sera tel que .
pour la valeur 
.
On a 
et 
, donc pour , 
.
d. Proposer un algorithme qui, pour une valeur de et , donc pour , .
donnée en entrée, affiche en sortie la valeur du plus petit entier tel que, pour tout , on ait .
Variables
U est un réel
p est un entier
n est un entier
Initialisation
U:= 0
n:= 0
Entrée
Saisir p (entier strictement positif)
Traitement
Tant que U<
faire
n:= n+1
U:= 3
+n-1
Fin tant que
Sortie
Afficher n.
faire
n:= n+1
U:= 3+n-1
Fin tant que
Sortie
Afficher n.
