Sujet et corrigé de l'exercice 1 du bac S de maths de juin 2013 en Polynésie
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On considère la fonction
définie sur 
par 
.
On note 
la courbe représentative de la
fonction dans un repère orthogonal.
1. Etude de la fonction
.
a. Déterminer les coordonnées des points d'intersection de la courbe avec les axes du repère.
Axe des abscisses
On résout l'équation :
Donc coupe l'axe des abscisses en 
.
Axe des ordonnées
Il suffit de calculer 
.
Donc coupe l'axe des ordonnées en 
.
b. Etudier les limites de la fonction
Donc coupe l'axe des abscisses en .
Axe des ordonnées
Il suffit de calculer .
Donc coupe l'axe des ordonnées en .
en 
et en 
.
En déduire les éventuelles asymptotes à la courbe .
Limite en
.
Limite en
On est en présence d'une forme indéterminée et on écrit :
.
Ce résultat de limite permet de dire que la courbe admet comme asymptote l'axe des abscisses en .
-
-
et par composition
.
Limite en
On est en présence d'une forme indéterminée et on écrit :
-
(limite connue)
-
et par composée
;
en multipliant par 2 :
.
Ce résultat de limite permet de dire que la courbe admet comme asymptote l'axe des abscisses en .
c. Etudier les variations de la fonction
sur .
La fonction est dérivable sur et on a en utilisant la relation de la dérivée d'un produit :
Comme pour tout 
, 
, le signe de 
est le même que celui de 
ce qui donne le tableau de
variations :
2. Calcul d'une valeur approchée de l'aire sous une courbe.
On note est dérivable sur et on a en utilisant la relation de la dérivée d'un produit :
Comme pour tout , , le signe de est le même que celui de ce qui donne le tableau de
variations :
le domaine compris entre l'axe des abscisses, la courbe et les droites d'équation 
et 
.
On approche l'aire du domaine en calculant une somme d'aires de rectangles.
a. Dans cette question, on découpe l'intervalle 
en quatre intervalles de même longueur :
- sur l'intervalle
, on construit un rectangle de hauteur 
- sur l'intervalle
, on construit un rectangle de hauteur 
- sur l'intervalle
, on construit un rectangle de hauteur 
- sur l'intervalle
on construit un rectangle de hauteur 
.
en ajoutant les aires des quatre rectangles précédents :
près du résultat affiché par cet algorithme.
L'algorithme présenté calcule la somme des aires des rectangles considérés c'est à dire :
b. Dans cette question,
est un nombre entier strictement supérieur à 1.
On découpe l'intervalle en intervalles de même longueur.
Sur chacun de ces intervalles, on construit un rectangle en procédant de la même manière qu'à la question 2.a.
Modifier l'algorithme précédent afin qu'il affiche en sortie la somme des aires des rectangles ainsi construits.
En découpant en intervalles chaque intervalle a une longueur de 
et on fait varier 
de 0 à 
ce qui donne l'algorithme :
3. Calcul de la valeur exacte de l'aire sous une courbe.
Soit intervalles chaque intervalle a une longueur de et on fait varier de 0 à ce qui donne l'algorithme :
la fonction définie sur par 
. On admet que la fonction est une primitive de la fonction sur .
a. Calculer l'aire exacte 
du domaine , exprimée en unités d'aire.
On remarque, par lecture du tableau de variations, que sur , 
, donc l'aire du domaine en unités d'aire s'obtient en
calculant :
b. Donner une valeur approchée à , , donc l'aire du domaine en unités d'aire s'obtient en
calculant :
près de l'erreur commise en remplaçant par la valeur approchée trouvée au moyen de l'algorithme à la question 2.a,
c'est-à-dire de l'écart entre ces deux valeurs.
à près.
L'erreur commise à près vaut 
.
